Somme et technique du télescopage

[Utoya]

Bonjour,

Je n'arrive pas à comprendre le corrigé d'un exercice. Les parties du corrigé que je n'arrive pas à comprendre sont en vert.

Énoncé :

Soit la suite définie par

Pour tout entier naturel , on pose

1. Ecrire la relation de récurrence vérifiée par la suite .
2. En utilisant la méthode 2.3*, donner une expression de en fonction de . En déduire .

* La méthode 2.3 correspond dans mon livre à la méthode du télescopage.

Question 1 :

Pour la question 1, pas de problème. On trouve :



C'est pour la question 2 que je ne comprends pas.

Corrigé de la question 2 de mon livre :

On obtient ainsi :

On somme cette relation pour allant de à (avec ) et on obtient :

// Pourquoi font-ils finir la somme à n-1 et pas à n ???



On a donc :



En utilisant un télescopage dans la somme du membre de gauche ainsi que les sommes de référence dans le membre de droite, on obtient : .

// Voilà, je n'arrive pas du tout à comprendre comment ils arrivent à obtenir ???

Après, la fin de l'exercice est assez simple à comprendre, il suffit de rajouter pour obtenir finalement donc pas la peine d'aller plus loin.

Merci d'avance.

[Sake]

Salut,

Bonjour,

Je n'arrive pas à comprendre le corrigé d'un exercice. Les parties du corrigé que je n'arrive pas à comprendre sont en vert.

Énoncé :

Soit la suite définie par

Pour tout entier naturel , on pose

1. Ecrire la relation de récurrence vérifiée par la suite .
2. En utilisant la méthode 2.3*, donner une expression de en fonction de . En déduire .

* La méthode 2.3 correspond dans mon livre à la méthode du télescopage.

Question 1 :

Pour la question 1, pas de problème. On trouve :



C'est pour la question 2 que je ne comprends pas.

Corrigé de la question 2 de mon livre :

On obtient ainsi :

On somme cette relation pour allant de à (avec ) et on obtient :

// Pourquoi font-ils finir la somme à n-1 et pas à n ???



On a donc :



En utilisant un télescopage dans la somme du membre de gauche ainsi que les sommes de référence dans le membre de droite, on obtient : .

// Voilà, je n'arrive pas du tout à comprendre comment ils arrivent à obtenir ???

Après, la fin de l'exercice est assez simple à comprendre, il suffit de rajouter pour obtenir finalement donc pas la peine d'aller plus loin.

Merci d'avance.

Ils somment jusqu'à n-1 pour qu'il ne reste plus que v_n et et v_0 après télescopage. Si tu étais allé jusqu'à n, tu te serais retrouvé avec du v_(n+1).

Tu connais les formules pour la somme des k² et pour la somme des k ?

[zygomatique]

salut

a - b + b - c + c - d + .. + x - y + y - z = a - z ....

:lol3:

[Utoya]

Ils somment jusqu'à n-1 pour qu'il ne reste plus que v_n et et v_0 après télescopage. Si tu étais allé jusqu'à n, tu te serais retrouvé avec du v_(n+1).

Tu connais les formules pour la somme des k² et pour la somme des k ?

Ahhh ok, merci pour ta réflexion. Elle m'a fait réaliser que n'était pas égal à la somme des k², ce qui expliquait pourquoi je ne comprenais rien ! :lol5:

De fait :



Tout est plus logique maintenant ! :lol3:

[Sake]

Voilà, c'est ça