je bloque sur une somme pourtant pas bien compliqué à mon avis ... si vous avez des idées, je suis prenneur :++:
Montrer que
merci d'avance!
Ciao
Somme
8 messages
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par abcd22 » 03 Oct 2006, 18:50
Bonsoir,
Il suffit de remarquer que la somme est la partie réelle de^n)
.
Il suffit de remarquer que la somme est la partie réelle de
par bitonio » 03 Oct 2006, 19:43
En effet .... euh peux tu me donner une piste je vois pas comment continuer ... merci d'avance!
par xon » 03 Oct 2006, 20:10
Salut,
je pense que tu peux calculer^n)
en mettant en facteur 
histoire de faire apparaitre un cosinus et tu prends la partie réelle et tu dois plus être loin du compte
je pense que tu peux calculer
par bitonio » 03 Oct 2006, 21:09
Au risque de paraitre legerement bete, je ne vois toujours pas comment m'en sortir ... :triste:
J'aimerai juste une piste, pas la solution... merci d'avance
J'aimerai juste une piste, pas la solution... merci d'avance
par bitonio » 03 Oct 2006, 21:11
ah non en fait je crois c'est bon ! j'avais pas vu la formule de trigo :marteau:
merci bcp !!
merci bcp !!
par Nicolas_75 » 04 Oct 2006, 07:17
Bonjour,
Une récurrence est également possible, à condition de considérer de front :
\; :\;\left\{\begin{array}{rcl}<br />\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cos k\theta&=&\displaystyle 2^n\cos\frac{n\theta}{2}\cos^n\frac{\theta}{2}\\<br />\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}\sin k\theta&=&\displaystyle 2^n\sin\frac{n\theta}{2}\cos^n\frac{\theta}{2}\\<br />\end{array}\right.)
Montrons la première partie de l'hérédité, celle relative à la première formule.
\theta\\<br />=&\displaystyle 1+\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}\cos k\theta+\sum_{k=1}^n{n\choose k}\cos k\theta+\cos(n+1)\theta\\<br />=&\displaystyle \sum_{k=1}^{\fbox{n+1}}{n\choose k-1}\cos k\theta+\sum_{k=\fbox{0}}^n{n\choose k}\cos k\theta\\<br />=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cos (k+1)\theta+\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cos k\theta\\<br />=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\left[\cos(k+1)\theta+\cos k\theta\right]\\<br />=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}2\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\theta\cos\frac{\theta}{2}\\<br />=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}2\left(\cos k\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin k\theta\sin\frac{\theta}{2}\right)\cos\frac{\theta}{2}\\<br />=&\displaystyle 2\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cos k\theta-2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\sum_{k=0}^n{n\choose k}\sin k\theta\\<br />=&\displaystyle 2\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}2^n\cos\frac{n\theta}{2}\cos^n\frac{\theta}{2}-2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}2^n\sin\frac{n\theta}{2}\cos^n\frac{\theta}{2}\\<br />=&\displaystyle 2^{n+1}\left(\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{n\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{n\theta}{2}\right)\cos^{n+1}\frac{\theta}{2}\\<br />=&\displaystyle 2^{n+1}\cos\frac{(n+1)\theta}{2}\cos^{n+1}\frac{\theta}{2}\\<br />\end{array})
La seconde partie de l'hérédité (avec les sinus) se montre de manière similaire.
Sauf erreur.
Nicolas
Une récurrence est également possible, à condition de considérer de front :
Montrons la première partie de l'hérédité, celle relative à la première formule.
La seconde partie de l'hérédité (avec les sinus) se montre de manière similaire.
Sauf erreur.
Nicolas
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