Somme

[pluie2]

bonjour, je ne parviens pas à calculer ces trois sommes :

a) Somme de p=0 à n de cos(px)/2^p

b) Somme de p=0 à n de sin^p(x)cos(px)

c) Somme de k=0 à n de sin(kx)/cos^k(x) avec cos(x) différent de 0.

je ne sais pas du tout comment débuter la résolution il ne semble pas y avoir de formules trigo qui puissent réduire l'écriture ?

merci de votre aide

[DamX]

Bonjour,

Pour les trois ça se fait bien en passant par les complexes :

Pour a et b, se rappeler que cos(px) = Re(exp(ipx))
et pour la c que sin(kx) = Im(exp(ikx))

Damien

[pluie2]

et une fois que j'ai écrit ceci dois je passer à la formule d'une somme géométrique?

[DamX]

et une fois que j'ai écrit ceci dois je passer à la formule d'une somme géométrique?

Tout à fait

[pluie2]

donc pour a ) j'ai écrit que :

somme de p=0 à n de (1/2)^p * (1-exp(ip(n+1)x)/(1-exp(ipx)

ensuite j'utilise la technique de l'angle moitié, de la formule d'euler ...


b) c'est le sin puissance p qui me dérange, comment le mettre sous forme exponentielle ?

[DamX]

donc pour a ) j'ai écrit que :

somme de p=0 à n de (1/2)^p * (1-exp(ip(n+1)x)/(1-exp(ipx)

ensuite j'utilise la technique de l'angle moitié, de la formule d'euler ...


b) c'est le sin puissance p qui me dérange, comment le mettre sous forme exponentielle ?

pour le a, pourquoi il y a encore la somme ? c'est un mélange de l'énoncé et du résultat cette forme que tu as écrite, ça doit être une erreur. On obtient bien en effet [1-exp(ip(n+1))/2^(n+1) ]/[1-exp(ipx)/2 ], dont il faut ensuite prendre la partie réelle (en multipliant au préalable par le conjugué du dénominateur pour avoir un réel au dénominateur et simplifier l'application de la aprtie réelle)

Pour le b il n'y a pas à passer en exponentielle pour le sinus, uniquement le cosinus, le sin ^p se rassemblera ensuite avec le e(ix)^p pour former [sin(x)e(ix)]^p auquel on appliquera la formule de somme géométrique.

[pluie2]

ok et pour le c) j'utilise la meme méthode.

En fait pour le a j'ai écrit somme de (1/2)^p * ... les deux termes étant séparés et la somme concernant uniquement (1/2)^p

[DamX]

ok et pour le c) j'utilise la meme méthode.

En fait pour le a j'ai écrit somme de (1/2)^p * ... les deux termes étant séparés et la somme concernant uniquement (1/2)^p

Pour le c oui Meme chose mais c'est le sinus qui doit être mis sous forme exponentielle

Pour le a, la somme ne peut pas être "séparée" de la sorte. Il y a une seule somme géométrique dont la raison est [exp(ix)/2] à laquelle on applique la formule.

[pluie2]

ok je reprends ça

[DamX]

ok je reprends ça

Pour être plus clair on a :