Somme de serie

[excellion]

Bonjours a tous, j'ai un probleme avec le bout d'exo suivant:



pour la a) je ne sais pas du tout comment faire pour calculer Sk (mais une fois fait je saurais calculer Im(Sk)
pour la b) idem,je ne vois pas du tout comment faire les majorations...
merci d'avance pour votre aide!

[klevia]

Salut, il me semble que puis aprèe c'est la somme des termes d'une suite géométrique ...

[excellion]

merci, j'ai trouvé pour la a) mais je bloque toujours a la b)... personne pour m'aider?

[Elvix]

Salut,
La première majoration provient directement de la concavité de sin sur [0,Pi/2].

Pour la deuxième, on sépare les cas:
Si Theta est dans [0,Pi], on peu utiliser la majoration précédente.
Le sinus du dénominateur est égal à sa valeur absolue.
on obtient, en multipliant par 1/k:
sin²(k*Theta/2)/|sin(Theta/2)|*1/k < sin²(k*Theta/2)*Pi/(k*Theta)

Or sin²(k*Theta/2)*Pi/(k*Theta)=sin²(k*Theta/2)/(k*Theta/2)²*Pi/4*k*Theta

Mais tu sais depuis fort longtemps que sin(x)/x<1 pour tout x>0.

Donc

sin²(k*Theta/2)/|sin(Theta/2)|*1/k
Tu multiplies par 1/(k+1) et tu as ta première inégalité.

La seconde est tout simple, vient du fait que k/(k+1)<1.

Deuxième cas: si Theta est dans ]Pi, 2*Pi[
Tu fais exactement de même en utilisant 2*Pi-Theta:
la valeur absolue vient de là: |sin(Theta/2)|=sin(2*Pi-Theta)
Le terme au carré s'arrange bien aussi.

Le "min" dans la majoration apparaît finalement après séparation des cas.

La bise

Elvix