Somme de Riemman (ou pas?)

[sanssecondmembre]

Bonjour, je suis un peu bloqué sur un exercicie de math:





Soit (Un)n la suite définie par: quelque soit n entier naturel non nul,

Un = somme de k=0 jusqu'à (n-1) de : n / ( n^2 - k^2 )

La question est: étudier la convergence de la suite (Un)n.

En modifiant l'expression, je trouve:
pour tout n élément de N*,
Un = 1/n x somme de k=0 jusqu'à (n-1) de f( k / n )
avec f définie et continue sur R\{-1;1} / f(x) = 1 / ( 1 - x^2 )

Mise sous cette forme, on reconnait une somme de Riemann associée à f et une subdivision de [0,1] pointée en { k / n , k: [[0;n-1]] }

Le théorême de Riemann assure alors que (Un)n converge vers l'intégrale de f sur [0,1]

Une primitive de f sur [0,1] serait la fonction argth. Le problème, c'est que ni f ni argth ne sont définies en 1. Je ne peux pas déterminer la limite de la suite (Un)n. En toute rigueur, l'intervalle sur lequel on intègre f est l'ouvert [ 0 ; 1 [
Mais dans ce cas, comment intégrer f sur cet intervalle? Existe-t-elle? Ou ai-je fais une erreur de raisonnement?

Merci d'avance pour vos idées...

[alavacommejetepousse]

bonsoir

f non continue sur [0,1] donc pas de théorème de riemann


ton idée est cependant la bonne

puisque argth en 1- tend vers +infini on montre que u(n) aussi

il suffit de MINORER u(n) par une intégrale grâce à la monotonie de f
et de montrr que l intégrale tend vers + infini avec n

[sanssecondmembre]

Merci pour cet éclairage. Donc la suite (Un)n diverge si je comprend bien...

[alavacommejetepousse]

absolument