Somme de parties entières...

[capitaine nuggets]

Bonjour, je n'arrive pas à montrer l'égalité suivante :



avec et .

- J'ai essayé avec la définition : sans résultat ;
- J'ai décomposer sous la forme , mais ça ne fait que déplacer le problème : je dois alors montrer que :



Du coup, je pédale un peu dans la semoule...

Merci d'avance pour votre aide :++:

[Doraki]

appelle f(x) le truc de gauche et g(x) le truc de droite.

1. Montre que f(x+1) = f(x)+n
2. Montre que g(x+1) = g(x)+n
3. Etudie f sur [0;1] (elle est constante par morceaux donc c'est pas dur)
4. Etudie g sur [0;1] (elle est constante par morceaux donc c'est pas dur)

[capitaine nuggets]

appelle f(x) le truc de gauche et g(x) le truc de droite.

1. Montre que f(x+1) = f(x)+n
2. Montre que g(x+1) = g(x)+n
3. Etudie f sur [0;1] (elle est constante par morceaux donc c'est pas dur)
4. Etudie g sur [0;1] (elle est constante par morceaux donc c'est pas dur)

La 1. et la 2. sont faites :++:
Mais pourquoi montrer ça ?

Par contre, qu'entends-tu par "étudier f sur [0,1]" ?

[Doraki]

Ben étant donné qu'elle est constante par morceaux ça veut dire faire la liste des intervalles sur lesquels elle est constante et qu'est-ce ce qu'elle vaut sur chacun de ces intervalles.

[capitaine nuggets]

Désolé, mais j'ai toujours du mal à comprendre pourquoi on a montré 1. et 2. ...

Sinon, j'ai aussi du mal à comprendre ce que tu veux que je fasse dans la 3. et 4. ...
J'ai pensé que pour mais, je ne vois pas trop l'intérêt...

[MMu]

Désolé, mais j'ai toujours du mal à comprendre pourquoi on a montré 1. et 2. ...

Sinon, j'ai aussi du mal à comprendre ce que tu veux que je fasse dans la 3. et 4. ...
J'ai pensé que pour mais, je ne vois pas trop l'intérêt...

Observe ce que ca donne pour chacun des intervalles

[capitaine nuggets]

Observe ce que ca donne pour chacun des intervalles

Ben ca donne 0 ou 1.

[chan79]

Une autre approche
on suppose
en additionnant membre à membre avec , on voit que la partie entière de est égale à 0 ou 1.
Comptons combien il y a de parties entières égales à 0
C'est le cas si
soit

soit

Sauf si nx est entier, le nombre de parties entières égales à 0 est 1+E(n-nx) car on commence à k=0
et le nombre de parties entières égales à 1 est n-(1+E(n-nx)) soit n-1-E(n-nx)
La somme est donc n-1-E(n-nx) soit n-1-(n+E(-nx))=-1-E(-nx)
posons p=E(nx)
comme nx a été supposé non entier
p < nx < p+1
-p-1 < -nx <-p
donc E(-nx)=-p-1 et on a -1-E(-nx)=-1+p+1=p
donc la somme est égale à E(nx)
Reste le cas où nx est entier

[chan79]

Une autre approche
on suppose
en additionnant membre à membre avec , on voit que la partie entière de est égale à 0 ou 1.
Comptons combien il y a de parties entières égales à 0
C'est le cas si
soit

soit

Sauf si nx est entier, le nombre de parties entières égales à 0 est 1+E(n-nx) car on commence à k=0
et le nombre de parties entières égales à 1 est n-(1+E(n-nx)) soit n-1-E(n-nx)
La somme est donc n-1-E(n-nx) soit n-1-(n+E(-nx))=-1-E(-nx)
posons p=E(nx)
comme nx a été supposé non entier
p < nx < p+1
-p-1 < -nx <-p
donc E(-nx)=-p-1 et on a -1-E(-nx)=-1+p+1=p
donc la somme est égale à E(nx)
Reste le cas où nx est entier
Le nombre de parties entières égales à 0 est cette fois (n-nx)
La somme est 1*(n-n+nx)= nx qui est bien la partie entière de nx puisque nx est entier

[ffpower]

Si on privilegie l approche de Doraki, je dirais tant qu a faire de montrer que f(x+1/n)=f(x)+1, g(x+1/n)=g(x), puis de calculer f et g sur [0,1/n[