Somme partielle de la série harmonique et intégration

[MoonX]

Bonjour,

J'ai trouvé sur internet une preuve du résultat suivant : qui n'utilise pas la récurrence.

Cette dernière utilise l'intégration. Elle fait remarquer que :

(ce que je comprend bien, c'est le binôme de Newton)

Mais à l'étape suivante, je ne comprend pas :


Comment est-on passé à la ? Je comprend pas pourquoi le x à gauche a été remplacé par tandis qu'à droite il me semble par une intégrale entre à et -1 ?

Je vous remercie par avance !

[zygomatique]

salut



on primitive :

or

donc

en complétant convenablement pour avoir la somme de 0 à n + 1 ... peut-être qu'on obtient quelque chose ...

[MoonX]

OK je l'ai merci :



sauf qu'en intégrant, la puissance de x est trop grande, et les indices de la somme ne sont pas les bons.
On fait alors passer le terme d'indice 0 de l'autre coté et on divise par x :

Donc à l'étape suivante, il s'agit simplement d'une intégration entre 0 et -1

Par substitution :

On remarque l'identité remarquable et la simplification qu'elle entraine. On utilise la linéarité de l'intégrale pour conclure.

Merci pour votre aide !