Bonjour à tous;
je viens de finir un exercice de prépa faisant parti d'un DM et je voudrais savoir si mes raisonnements sont juste. Cela risque d'être un peu long, donc je remercie ceux qui auront le courage de tout vérifier .
Pour tous , on appelle somme parallèle de a et b et on note le réel : .
On s'intéresse maintenant à l'inégalité suivante, que l'on démontrera :
Pour tous
1) Que vaut le minimum de la fonction sur pour tous a, b > 0 ?
On pose , est donc une fonction polynomiale du second degré de la forme : , avec et
La valeur du minimum de f est donc : . Calculons ce minimum :
2) En déduire que pour tous .
D'après la question précédente, on a, pour tous :
Par somme, et puisque tout les termes des inégalités sont positifs, on obtient :
On pose maintenant :
est donc une fonction polynomiale du second degré de la forme : , avec et . De la même façon que dans la question 1), on détermine le minimum de la fonction g, qui vaut :
On obtient donc :
On obtient donc l'inégalité voulu :
3) En déduire, par récurrence, l'inégalité originale :
* Initialisation :
On vérifie que la propriété est vérifiée au rang initial n = 1. On considère donc seulement les réels et
Donc l'inégalité est bien vérifiée au rang initial n = 1.
* Hérédité :
On suppose que la propriété est vérifiée à un rang quelconque p, c'est-à-dire que l'on considère les réels : :
On démontre que la propriété est vérifiée au rang suivant p + 1, c'est-à-dire que l'on considère les réels : :
Cette dernière inégalité peut se réécrire ainsi :
On utilise ensuite l'inégalité démontré dans la question précédente, en posant :
On obtient donc :
Or d'après notre hypothèse de récurrence, on a :
et donc :
On a donc :
Et donc finalement :
* Conclusion :
La propriété est vérifiée au rang initiale et est héréditaire, elle est donc vérifiée pour tout entier naturel strictement positif, c'est-à-dire :
Wow... bon voilà, voici mon approche sur les différentes questions de cet exercice. Merci à tous ceux qui me répondrons .