Somme de loi exponentielles Proba M1

[caro.line]

Bonjour,

j'ai un petit problème sur un exercice de proba:

X et Y sont deux va indépendantes de même loi exponentielle de paramètre lambda
J'aimerais avoir la loi de S=X+Y.

Pour cela j'utilise le produit de convolution:
le densité h de S sera donnée par

h(s) = l'intégrale de -(l'infini) à +(l'infini) de: f(s-y)g(y)dy.

f et g, les densités respectives de X et Y, correspondent à la même densité (celle de la loi expo)
on arrive après quelques calculs à

l'intégrale de 0 à +(l'infini) de: (lambda)² exp( - lambda * s) dy

le problème est que je ne sais pas intégrer cette fonction par rapport à y
car s et y ne sont pas indépendantes puisque S=X+Y ..


En réalité, je connais le résultat cad la densité de la somme
qui est: h(s) = s* (lambda)² * exp( - lambda * s)
mais je n'arrive pas a montrer ce résultat..

Merci de bien vouloir m'aider!

[Sam Mar]

Bonsoir,

pour ce calcul là, je pense que la clé est la rigueur.
Reprends ton calcul avec la densité exponentielle étant :

où est la fonction qui vaut 1 si y>0 et 0 sinon (car
la densité n'est non nulle que pour y positif).
Pense aussi que quand une expression est indépendante de la variable muette
sur laquelle on intègre alors on peut "sortir" l'expression de l'intégrale (c'est une constante).
Normalement, ça devrait marcher