Somme directe

par **Arry** » 13 Juil 2015, 14:46

Bonjour,
J'aurais juste besoin d'une précision sur un théorème
Soit f appartient à L(E) et f²=f
Alors E=Im(f);)Ker(f) (et f projecteur)
est ce la même chose que de dire E=ker(f);)im(f) ?
Merci pour votre aide

par **Sake** » 13 Juil 2015, 15:14

Arry a écrit:Bonjour,
J'aurais juste besoin d'une précision sur un théorème
Soit f appartient à L(E) et f²=f
Alors E=Im(f);)Ker(f) (et f projecteur)
est ce la même chose que de dire E=ker(f);)im(f) ?
Merci pour votre aide

Oui oui, bien sûr. La signification de cette équation c'est juste que tout élément de l'espace E peut se décomposer de manière unique en deux éléments, l'un faisant partie du noyau de f et l'autre faisant partie de l'image de f. Soit x un tel élément, alors on écrit de manière équivalente x = x_N +x_I où x_N et x_I sont respectivement les vecteurs dénommés ci-dessus. Puisque l'espace vectoriel en question est un groupe abélien, la loi d'addition est commutative, ce qui prouve la commutativité de la somme de deux espaces vectoriels (et donc de la somme directe dans ce cas précis).

par **zygomatique** » 13 Juil 2015, 15:26

salut

tout x s'écrit trivialement x = x - f(x) + f(x)

il est donc évident que

et

...

par **mrif** » 13 Juil 2015, 21:25

zygomatique a écrit:salut

tout x s'écrit trivialement x = x - f(x) + f(x)

il est donc évident que et

...

Bonsoir zygomatique,

As-tu lu la question posée par Arry?
Sake a apporté une réponse appropriée, claire, et bien détaillée.

par **zygomatique** » 14 Juil 2015, 11:48

ben justement j'ai permuté !!!

si tu préfères en détail ::

x = x - f(x) + f(x) = f(x) + x - f(x)

....

par **Arry** » 15 Juil 2015, 13:06

Merci pour votre aide !
Cordialement

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