Somme directe et application linéaire

[daffodil]

Bonjour,

Je bute sur l'exercice suivant :

Soit un espace vectoriel de dimension finie, et soit un endomorphisme de .

1) Montrer que .
2) En déduire que si et seulement si .
3) Montrer que si et seulement si .

Pour les deux premières questions, c'est assez immédiat en utilisant le théorème du rang et le théorème des quatre dimensions. Mais pour la troisième question, je ne vois vraiment pas comment faire...

Merci d'avance pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Il y a une inclusion assez évidente entre les deux, et donc égalité si et seulement si on a égalité des dimensions.
La question 2 prut servir.

[daffodil]

Oui, on a toujours ... Mais nous n'avons aucune info sur la dimension de

[GaBuZoMeu]

Même en exploitant la question 2 ?

[daffodil]

On peut dire que si , , mais à part ça, je ne vois pas...

[GaBuZoMeu]

Tu es sur la bonne voie, persévère !