Somme des séries n^2, n^3 ...

[Sdec25]

Bonjour
J'aimerais savoir comment trouver une formule pour la somme des séries

Maxima peut me calculer cette série, et je peux démontrer les formules par récurrence mais je me demande comment on fait pour les trouver, quelle règle utiliser.
Je sais démontrer la formule pour S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... mais pour les puissances de 2 et plus je ne sais pas.
Merci d'avance.

[Amine.MASS]

salut,
je pense avoir une methode qui n'est pas tres pratique si la puissance de k augumente:
en effet,cherchant
si on arrive à trouver un polynome P de degrés i+1 tq p(x+1)-P(x)= on aurra alors


pour trouver le polynome pose
en remplaçant tu trouvras i+1 équation tu en déduiras les
et voila tu as la somme voulu

je te propose d'utiliser cette methode pour pour vérifier:

tu trouveras que P=
donc =P(n)-P(1)
en simplifiant on obtient la formule conue
je voudrais bien savoir s'il y a une methode plus simple
merci.
Cordialement,Amine

[yos]

Plus simple non. Il y a une formule générale pour la somme des qui fait intervenir les nombres de Bernoulli, mais c'est assez lourd à obtenir.

[Chimomo]

Ceci dit la méthode avec les polynôme permet en effet de trouver des formules pour tous les exposants entiers positifs (et c'est ainsi je crois que les formules ont été trouvées au début).

[Sdec25]

Merci beaucoup pour votre aide, je trouve cette méthode bien pratique, et pas très compliquée :happy2:
Je viens en effet de redémontrer la formule pour
On peut même utiliser 2 fonctions :
On peut soit s'arranger pour que , alors
Ou bien pour que , dans ce cas , et on trouve

Merci encore