Somme des diviseurs d'un nombre
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Gagbill
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par Gagbill » 17 Aoû 2010, 21:54
Bonjour, je souhaiterai avoir la démonstration de la formule de la somme des diviseurs d'un nombre entier.
En effet si on note
s(n) la somme d'un entier
n dont la décomposition en facteur premier est
, on a :
.
C'est de ce produit dont j'aimerai obtenir la déduction logique, soit d'un lien, d'un document ou pourquoi pas de vos connaissances. Merci
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dibeteriou
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par dibeteriou » 17 Aoû 2010, 22:23
Bonjour.
Tu peux chercher dans la direction des fonctions arithmétiques multiplicatives.
On démontre (en particulier par convolution) que la fonction
dont tu parles est multiplicative, c'est à dire que si
et
sont premiers entre eux,
.
Ensuite on calcule simplement
pour en déduire
edit: correction de la grosse erreur.
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Gagbill
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par Gagbill » 18 Aoû 2010, 05:12
dibeteriou a écrit:Tu peux chercher dans la direction des fonctions arithmétiques multiplicatives.
En effet, je vois maintenant que c'est la meilleure façon de démontrer cela. Thanks :ptdr:
si
et
sont premiers entre eux,
.
Par contre, je pense ici que que c'est plutôt si
et
sont premiers entre eux, alors
Bref, voici la démonstration que j'ai concocté en suivant ton indication:
Montrons que est une fonction multiplicative:
- (1 n'ayant qu'un diviseur, lui-même)
- Montrons que avec
Par définition,
Considérons et respectivement l'application identique (ex:) et la fonction arithmétique constante égale à 1 (ex:), on a: produit de convolution
Par conséquent: (i)
Soit tels que ; on a:
Or et étant premier entre eux, 1 est leur seul diviseur commun; ainsi , avec et
D'où
D'après la relation (i):
[center]Conclusion: est une fonction multiplicative[/center]
Déduisons De ce qui précède,
En s'intéressant en particulier , on a:
Soit D l'ensemble des diviseurs de ; ainsi:
{}
De manière analogue, on trouve l'ensemble des diviseurs de
Donc
CONCLUSION:
avec
Voilà, n'hésitez pas à m'indiquer tout erreur, amélioration, astuce ou encore critique sur cette démonstration.
Cordialement et encore merci
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dibeteriou
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par dibeteriou » 18 Aoû 2010, 14:14
Merci pour la correction
C'est tout à fait la preuve classique. La convolution est un bon moyen d'obtenir des fonctions multiplicatives :we:
Il doit y avoir simplement une coquille à la dernière ligne, au niveau des puissances (
au lieu de
).
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Gagbill
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par Gagbill » 18 Aoû 2010, 16:57
dibeteriou a écrit:Il doit y avoir simplement une coquille à la dernière ligne, au niveau des puissances (
au lieu de
).
Tout à fait, manque de justesse niveau Latex :briques: . Bien aurevoir et encore merci :we:
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girdav
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par girdav » 18 Aoû 2010, 18:17
Bonjour,
on peut aussi obtenir la formule en bourinant : la donnée d'un diviseur correspond à celle d'un élément de
.
En notant la somme des diviseurs de
par
, on a :
la dernière égalité s'obtenant en regroupant les sommes (c'est une généralisation de la formule
pour
et
finis).
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benekire2
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par benekire2 » 18 Aoû 2010, 19:37
girdav a écrit:Bonjour,
on peut aussi obtenir la formule en bourinant : la donnée d'un diviseur correspond à celle d'un élément de
.
En notant la somme des diviseurs de
par
, on a :
la dernière égalité s'obtenant en regroupant les sommes (c'est une généralisation de la formule
pour
et
finis).
Salut girdav !
C'est cette preuve qui figure dans les bouquins de TS ( datant d'il y a quelques années) en version bien plus romancée bien sûr
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Gagbill
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par Gagbill » 18 Aoû 2010, 20:41
girdav a écrit:Bonjour,
on peut aussi obtenir la formule en bourinant : la donnée d'un diviseur correspond à celle d'un élément de
.
En notant la somme des diviseurs de
par
, on a :
la dernière égalité s'obtenant en regroupant les sommes (c'est une généralisation de la formule
pour
et
finis).
Salut, je prends note aussi de cette démonstration, semble-t-elle, plus courte et astucieuse.
Merci
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