Somme de binomiaux

[moijesuissansE]

Bonjour,

On me demande de partir de ces deux expressions, dont j'ai donné le résultat





Pour en déduire l'égalité suivante.

J'arrive à partir de cette relation pour retomber sur une des premières mais c'est de l'induction, je n'arrive pas a déduire cette formule des deux précédentes.


Pouvez-vous m'aider svp ?

Bonne soirée à vous

[issoram]

Bonsoir,

Il y a un problème avec la première formule. Si on prend n = 4 par exemple, on obtient -4 et pas 0.

[mathelot]

Bonjour,
on peut démontrer que:





en séparant les indices pairs des indices impairs:

[moijesuissansE]

Bonjour,

Issoram, pour ce qui est des deux premières sommes, on me demande de rappeler leur résultat vu en cours, or, pour la première on en a pas parlé, je vais essayer de voir avec mon prof parceque tu as raison, la formule que j'ai donné est fausse.

Mathelot, merci pour la démonstration, c'est celle que j'ai aussi dans mon cours, et on peut aussi utiliser la symétrie des binomiaux pour le démontrer. Cependant c'est pour la suite que je bloque, pour en déduire l'expression avec la partie entière de n/4 mais je pense que c'est parceque je n'ai pas la bonne expression du début.

Merci pour vos réponses
Belle journée à vous

[mathelot]

Pour l'égalité à démontrer, il faut faire intervenir ?

[moijesuissansE]

pour le début normalement non, je suis juste censé rappeler des résultats et en déduire le reste,

mais par la suite on me demande de démontrer une formule générale en faisant intervenir des complexes sous forme exponentielle :


avec :

[mathelot]

, je n'arrive pas a déduire cette formule des deux précédentes:

i)
Développer avec la formule du binôme et l'égaliser à la forme trigo
ii)
en déduire :
(*)
iii)
De
en déduire:
(**)
iv)
des égalités (*) et (**), en déduire le résultat demandé

[mathelot]

pour le début normalement non, je suis juste censé rappeler des résultats et en déduire le reste,

mais par la suite on me demande de démontrer une formule générale en faisant intervenir des complexes sous forme exponentielle :


avec :

Bonsoir,
après calculs, je trouve:


Il n'y aurait pas une erreur d'énoncé ?

remarque: j'ai testé avec succès ma formule pour n=10,r=3. vaut j, (avec), , ce qui facilite les calculs.

Pour obtenir la formule demandée:
Développer les puissances n-ièmes avec la formule du binôme
Permuter les deux sommations:
on obtient une somme de sommes de progressions géométriques,certaines progressions sont de raison 1,
d'autres de raison différente de 1.
Sommer des progressions géométriques en discutant si vaut 1 ou non,
ce qui est habituel quand on somme des progressions géomètriques.

[mathelot]

on va démontrer cette formule:

on développe les puissances nièmes avec la formule du binôme:





on intervertit les sommations:





rappelons que:


On a donc une combinaison linéaire de sommes de progressions géométriques de raison

1er cas
j est multiple de r

2ème cas: alors


On en conclut:

[mathelot]

après calculs, je trouve:



je vais tester ma formule pour n=10, r=3.
vaut , (avec),

comme:







par ailleurs:

[issoram]

Merci Mathelot pour tous ces détails de démonstration!

[moijesuissansE]

Wahou merci c'est vraiment impressionnant je vois pas comment j'aurais pu trouver ça tout seul ...

[moijesuissansE]

après calculs, je trouve:


Il n'y aurait pas une erreur d'énoncé ?

Si c'est exact c'était bien cela, excepté que a la place de α j'ai r mais cela ne change rien du tout ce n'est qu'une notation

[mathelot]

après calculs, je trouve:


Il n'y aurait pas une erreur d'énoncé ?

Si c'est exact c'était bien cela, excepté que a la place de α j'ai r mais cela ne change rien du tout ce n'est qu'une notation

tu as "p" à la place de ?

[moijesuissansE]

Non j'ai q a la place de α, mais q étant l'indice de ma somme aussi, c'est pareil

[moijesuissansE]

, je n'arrive pas a déduire cette formule des deux précédentes:

i)
Développer avec la formule du binôme et l'égaliser à la forme trigo
ii)
en déduire :
(*)
iii)
De
en déduire:
(**)
iv)
des égalités (*) et (**), en déduire le résultat demandé

En réalité j'ai tout compris, en tout cas comment déduire la formule générale mais pour ce qui est du cas avec r= 4 je ne comprends toujours pas.

Pour trouver la valeur de
,
Je trouve


Ce qui en forme expo ne me donne pas tout à fait césure vous avez trouvé

[moijesuissansE]

Que j'ai développé séparément à l'aide de la formule du binôme pour trouver deux expressions contenant chacune la somme dont je cherche le résultat.

Par combinaison linéaire j'ai résolu ce système et ait trouvé la formule que je vous ait indiqué ci dessus

[mathelot]

Bonsoir,
oui, je confirme, je trouve la même chose que toi:



or,




en conjugant:


en additionnant:




en conclusion:

[mathelot]

Pour en déduire l'égalité suivante.

C'est la démonstration de cette formule qui pose problème ?

[moijesuissansE]

Pour en déduire l'égalité suivante.

C'est la démonstration de cette formule qui pose problème ?

Oui c'est ça m, vous la faite en utilisant les formules d'Euler pour avoir le cosinus ?
Mais je vois pas comment le partie entière de N/4 apparait.