Solutions d'un système complexe

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Benjamin
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Solutions d'un système complexe

par Benjamin » 25 Fév 2010, 20:13

Bonjour,

J'aurais besoin de vos lanternes pour résoudre un petit problème auquel je suis confronté.
Soit une Matrice M dans tel que

Je voudrais trouver tous les vérifiant M*transposé(conjugué(M))=I

Déjà, de quelle dimension seront les EV solutions ? Mes cours de prépa sont assez loin... Est-ce qu'on peut les exprimer simplement ? Ou est-ce tellement bourrin que sans plus de précision sur certaines valeurs de , on ne peut pas dire grand chose ?

Merci d'avance.



Benjamin
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par Benjamin » 25 Fév 2010, 21:05

Pour mon problème, on peut s'imposer =0, ça sera la même chose.

Et alors par exemple, je sais que l'ensemble des matrices M tel que avec un réel quelconque, est solution. Mais je sais qu'il y a d'autres familles de . Je n'arrive pas à trouver comment les trouver. Je me suis aussi demandé quelle propriété pouvait avoir la matrice M, mais elle n'est même pas symétrique donc...

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Ben314
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par Ben314 » 26 Fév 2010, 02:26

Salut,
Le groupes formés par de telles matrices est le "groupe unitaire" U(4) : c'est l'équivalent du groupe orthogonal O(4) sur R, c'est à dire que c'est l'ensemble des matrices des isométries de C^4 dans C^4 [la norme d'un vecteur de C^n est la racine carrée de la somme des carrés des modules des coordonnées et il lui correspond une "forme hermitienne" qui est l'équivalent d'un produit scalaire sur R]
Pour qu'une matrice soit dans U(4) il faut et il suffit que ces vecteurs colonnes soient de norme 1 et 2 à 2 orthogonaux, matriciellement, cela se traduit par la formule que tu donne : M*transposé(conjugue(M))=Id (on peut aussi prendre les lignes car M est dans U(4) ssi sa transposée est dans U(4))
Comme les vecteurs colonnes de tes matrices sont forcément de norme 1, les matrices que tu cherche sont celles telle que :
(6 équations)
Sauf que, là, il y a une petite astuce : si z est un complexe tel que 0<|z|<2, il y a un unique couple d'angles a,b tels que z=exp(ia)+exp(ib) [faire un dessin avec le cercle trigo et le cercle de rayon 1 centré en z].
Cela montre que les seules solutions d'une équation du type : exp(ia)+exp(ib)+exp(ic)+exp(id)=0 sont des couples d'angles opposés [i.e a=b+pi et c=d+pi ou bien a=c+pi et b=d+pi ou bien a=d+pi et b=c+pi]
En réécrivant les 6 équations sous cette forme, tu devrait trouver les solutions à ton problème (là ou c'est chiant, c'est de pas se gourrer dans les cas et sous cas du fait que ces équation ont trois types de solutions...)
Je pense (mais pas sûr) qu'à transposition et conjugaison prés, il n'y a que la solution que tu donne...
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Benjamin
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par Benjamin » 26 Fév 2010, 02:36

Merci bien pour ta réponse, je pourrais traiter tous les cas et les sous-cas je pense ^^.
Par contre, il n'y a pas que la solution que je propose puisque j'avais trouvé une autre matrice qui marchait (je n'y arrive plus là, mais il est tard...) et qui ne suivait pas la progression des thetas que je donne.

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Ben314
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par Ben314 » 26 Fév 2010, 03:14

Tient, j'ai aussi oublié un truc : c'est que les solutions, c'est à transposition, conjugaison mais aussi permutation des lignes et des colonnes prés...
Donc, du coup, c'est pas sûr que l'on reconnaisse facilement une matrice du type que tu as donné une fois passée dans le "shaker" à tout ça prés...
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Benjamin
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par Benjamin » 26 Fév 2010, 03:25

OK. Mais avec la caractérisation que tu m'as donnée ([i.e a=b+pi et c=d+pi ou bien a=c+pi et b=d+pi ou bien a=d+pi et b=c+pi]), ça me semble jouable en regardant les différences de phases entre les lignes 2 et 1 puis 3 et 1 puis 4 et 1 puis 3 et 2 puis 4 et 2 puis 4 et 3 (les 6 équations dont tu parles) (ou les colonnes mais si équivalent de par la propriété M est dans U(4) ssi sa transposée est dans U(4)).

Benjamin
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par Benjamin » 26 Fév 2010, 12:39

En fait, j'ai une question subsidiaire.

On prend un vecteur colonne A de type .
Soit M appartenant U(4).
Si on note B le vecteur colonne résultat de M*A et qu'on calcule |b1-b2+i(b3-b4)| (je l'appelle F mettons).
J'ai l'impression (je conjecture) que le max de F sur l'ensemble des matrices A et M possibles, c'est racine de 2, mais rien n'est montré... :S N'y a-t-il vraiment pas mieux ? Si on peut être sûr que c'est bien racine de 2, c'est vraiment nickel :)

EDIT : Il est immédiat et évident que 2 est une borne sup, mais est-ce aussi un max avec la contrainte M dans U(4) ?

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Ben314
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par Ben314 » 26 Fév 2010, 14:47

Salut,
Vu que les matrices de U(4) sont celles de toutes les isométries,
1) Si tu note Sk l'ensemble des matrices de norme k alors toute matrice M de U(4) fournit une bijection de Sk sur lui même.
2) Si tu fixe A et que tu prend l'ensemble de MA pour M dans U(4), tu obtient l'ensemble des vecteurs de même norme que A.

Donc, si je comprend bien ton problème, faire varier A ne sert à rien, de toute façon, l'ensemble des B=MA est l'ensemble des vecteurs de norme 1(=norme de A), c'est à dire l'ensemble des (b1,b2,b3,b4) tels que |b1|²+|b2|²+|b3|²+|b4|²=1.
Il ne te reste plus qu'à déterminer le max de |b1-b2+i(b3-b4)| sur cet ensemble (qui est atteint vu que l'ensemble est compact et la fonction continue)

si j'ai un peu de temp, je regarderais ce max.

P.S. Attention, j'ai considérait que l'on prenait toutes les matrices M de U(4) et pas seulement celles de la forme donné par ta question initiale...

Edit : le max est bien égal à 2 (par Cauchy-Schwarz).
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par Benjamin » 26 Fév 2010, 15:08

Re Salut,

Ben314 a écrit:Donc, si je comprend bien ton problème, faire varier A ne sert à rien, de toute façon, l'ensemble des B=MA est l'ensemble des vecteurs de norme 1(=norme de A), c'est à dire l'ensemble des (b1,b2,b3,b4) tels que |b1|²+|b2|²+|b3|²+|b4|²=1.

Exactement, ça s'est acquis et je le sais.

En fait, faire varier A ne me sert qu'à changer la valeur de |b1-b2+i(b3-b4)| pour lui faire atteindre son maximum. Si j'ai bien compris cette phrase
Ben314 a écrit:qui est atteint vu que l'ensemble est compact et la fonction continue
, il existera toujours un A qui donne ce maximum. Mon algèbre sur les espaces dans lesquels évoluent les matrices n'étant jamais été très brillant, ça fait parti des propriétés que je ne vois pas du tout. Par curiosité (et me rafraichir ma mémoire de prépa par la même occasion :zen: ), c'est quoi le fait que l'ensemble est compact ?

Je suis d'accord qu'alors, la valeur de ce maximum atteignable ne dépend que de la matrice M. Le truc c'est qu'actuellement, je n'ai trouvé que des matrices qui me permettent d'atteindre que racine(2) comme max. Existe-t-il une méthode permettant de trouver la (les) matrices M optimales ou il faut que je continue le cas par cas que j'ai commencé ?

Ben314 a écrit:P.S. Attention, j'ai considérait que l'on prenait toutes les matrices M de U(4) et pas seulement celles de la forme donné par ta question initiale...

Edit : le max est bien égal à 2 (par Cauchy-Schwarz).

Donc si on s'est bien compris, je peux trouver une (ou des) matrice de U(4) qui me permet d'avoir un maximum égal à 2 ?
Je ne comprends pas ton PS par contre, il me semble que je n'ai donné aucune contrainte supplémentaire à part que M soit dans U(4) :hum:

Encore merci pour tes réponses en tout cas !

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Ben314
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par Ben314 » 26 Fév 2010, 16:07

Un compact c'est :
En topologie générale un espace tel que de tout recouvrement d'ouvert on peut extraire un sous recouvrement fini.
Dans le cas particulier (fréquent) des espaces métrique, c'est équivalent à dire que toute suite admet une sous suite convergente.
Dans le cas trés particulier des espaces vectoriels normés de dimension fini (par exemple les vecteurs de C^n ou les matrices), c'est équivalent à dire que une partie fermée bornée.
Ensuite, il y a un théorème super utile qui dit que si une fonction va d'un compact dans R allors elle est bornée et atteint ces bornes.

Ta question concernant, pour A fixé (de norme 1), la recherche de la matrice qui maximise peut se dérouler en deux temps :
Tu prend un vecteur B (de norme 1) qui donne bien |b1-b2+i(b3-b4)|=2, par exemple b1=-b2=ib3=-ib4=1/2, puis tu cherche une matrice M du U(4) telle que MA=B.
C'est totalement équivalent comme problème à chercher un élément de O(3) (i.e. une isométrie vecturielle de R^3) qui envoie un vecteur fixé de R^3 sur un autre de même norme. Je te donne cette analogie pour que tu voie que
1) Intuitivement et théoriquement, c'est "trivial"
2) Il va y avoir des tas de solutions
3) Si on veut calculer ne serait-ce qu'une solution, ça va être chiant.
Pour quand même donner des méthodes, tu peut compléter A en une b.o.n. de C^4 Ba=(A,A2,A3,A4) de même pour B en une b.o.n. Bb=(B,B1,B2,B3,B4) [par exemple avec Gramm-Schmitt] puis considérer l'application linéaire L telle que L(Ba)=Bb. La matrice M de L se calcule avec les matrices de Ba et Bb et elle est dans O(4) car les bases sont orthonormées.
Une méthode plus "géométrique" consiste à prendre la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan médiateur de A et B (tout les calculs se font comme dans R, sauf que les produits scalaires deviennent des formes hermitiennes, c'est à dire que tu prend les conjugués des coordonnées du second vecteur)

Mon P.S. était là pour être sûr que tu ne cherchait pas le max de M.A avec M qui ne décrit que le sous ensemble particulier de U(4) formé des matrices dont tout les coeffs sont des mais bien le max sur toutes les matrices de U(4).
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par Benjamin » 26 Fév 2010, 16:24

Tu as bien fait de mettre ton PS et j'ai bien fait d'en reparler parce que je n'avais en effet rien compris :hum:
Donc en fait, on n'est pas sûr du max puisque je cherche bien les matrices de U(4) de la forme que j'ai donnée ! Désolé pour la confusion. En fait, j'avais compris au début, à tort, que mes matrices étaient U(4) tout entier, alors qu'elles en sont qu'une sous-partie...

Je cherche bien mon max uniquement dans cette sous partie... J'ai absolument besoin de l'égalité sur les modules de chaque élément de M. J'imagine qu'on ne peut rien dire dans ce cas sur le max ? Ou alors, ça doit être bougrement compliqué.

"Ensuite, il y a un théorème super utile qui dit que si une fonction va d'un compact dans R allors elle est bornée et atteint ces bornes." Je ne me rappelais plus ce théorème, si je l'avais déjà vu. Il est bien utile en effet :)

On passage, tu peux voir que la matrice

0 PI 0 PI/2
PI PI PI PI/2
PI/2 -PI/2 -PI/2 0
PI/2 PI/2 -PI/2 PI

est bien dans mon sous-ensemble mais qu'elle n'est pas de la forme avec la génération des theta selon ma formule (post #2), même à transposition, conjugaison, permutation des lignes et des colonnes prés... (ou alors, j'ai raté un truc).

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par Ben314 » 26 Fév 2010, 16:56

Ca change pas mal la donnée du problème qui devient... nettement moins trivial...
Il me semble que l'ensemble de "tes matrices" n'est pas un groupe mais qu'il est compact (donc max atteint) mais pour trouver le max, j'ai peur qu'il faille pas mal se "salir les mains" et qu'effectivement, il faille commencer par une description assez précise de l'ensemble en question [ce qui n'est pas le cas pour U(4))
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par Benjamin » 26 Fév 2010, 17:18

Peux-tu s'il-te-plait me préciser ce que tu entends par c'est que les solutions, c'est à transposition, conjugaison mais aussi permutation des lignes et des colonnes prés...
Quand on conjugue, c'est toute la matrice ou si on conjugue juste une colonne ou une ligne, ça marche encore ?

A tout ça près, je pense que je peux déjà alléger un peu le problème. Je peux me garder mon =0 aussi, ça sera que mieux.
Il est facile de voir aussi qu'on peut s'imposer le premier theta du vecteur A à 0 (une solution avec cette condition existe forcément).

Une fois ça dégrossit, je pense qu'avec un prog informatique, on ne sera plus forcément très loin d'avoir la matrice optimale. Qu'en penses-tu ?

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par Ben314 » 26 Fév 2010, 19:03

Lorseque tu part d'une matrice M de U(4), elle reste dans U(4) si
1) Tu prend le conjugué des 16 coeffs de la matrice (c'est ce que j'ai [mal] appelé à conjugaison prés : habituellement, la conjugaison sur les matrices, ça veut dire M->P^-1MP )
2) Tu prend la transposée de la matrice (i.e. inversion ligne/colonnes)
3) Tu fait une permutation quelconque des 4 lignes (ou des 4 colonnes), par exemple échanger deux lignes, ou mettre la première à la fin et remonter les autres etc..
4) Tu multiplie une ligne (ou une colonne) par un complexe de module 1 quelconque [stabilité que j'avais oublié précédement et qui risque de t'être fort utile : désolé]
Comme ces 4 opérations conserve aussi la propriété "tout les coeff de la matrice sont de module 1 (i.e. des exp(i.theta) )", "ton" ensemble de matrice est stable par toutes ces opérations.
Je n'ai pas essayé d'approfondir ton exemple, mais je continue à me demander si "ton" ensemble n'est pas composé d'une seule classe modulo ces opérations.

Par exemple, tu peut supposer toute la première ligne nulle en multipliant chaque colonne par exp(-i.theta_1,n) et toute la première colonne nulle en multipliant les ligne 2 à 4 par exp(-i.theta_n,1)...

P.S. Je suis vraiment c.. d'avoir "oublié" la stabilité par multiplication d'une ligne/ colonne par un exp(i.alpha)...
Intuitivement, je procède en immense partie par analogie avec R, sauf que dans R, si tu as une base orthonormé, tu ne peut multiplier les vecteurs de la base que par +1 ou -1 si tu veux qu'elle reste orthonormée (ce sont les seuls réels de module 1 !!!)
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par Ben314 » 26 Fév 2010, 19:20

Ton exemple est "similaire" à :
avec à la colonne 2 et à la 4, puis à
avec à la ligne 2 et à la 3 et la 4, puis à
en mettant la ligne 2 à la fin et en remontant les deux autres.

J'aurais tendance à penser que, à toutes les opérations valides prés, c'est la seule possible
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par Benjamin » 26 Fév 2010, 20:15

Je n'aurais pas le temps de regarder avant cette nuit (y a un match de rugby ce soir il parait :zen:) ou demain matin. Merci pour ces précisions, je te tiens au courant sur ce même fil bien sûr ;)

EDIT : il ne faut pas oublier qu'il y a un coef 1/2 devant ma matrice quand même, c'est important :P

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Ben314
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par Ben314 » 01 Mar 2010, 16:52

Vu que tu en (re)parle, tu as résulu ton problème ?
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Benjamin
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par Benjamin » 01 Mar 2010, 17:44

Pas encore, j'ai pas eu le temps d'y toucher ce WE en fait. Je regarderai si elles peuvent toutes se ramener à (ou pas). Je devrais le voir assez vite (quand j'aurai le temps xD)

Benjamin
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par Benjamin » 23 Mar 2010, 14:10

Merci beaucoup Ben. J'ai quasi résolu mon problème, et c'est bien grâce à toi !!

Pour faire vite, j'ai montré que toutes mes matrices se ramener à la forme avec entre 0 et 2PI, aux transformation près.

J'ai ensuite revu Cauchy-Schwarz comme tu en avais parlé et là, je me suis rappelé la deuxième partie de l'inégalité que j'avais complétement oublié. Cas d'égalité si les deux vecteurs sont colinéaires. Donc mes seuls vecteurs B solutions était de la forme

J'ai ensuite montré que si M était solution de mon problème (maximiser mon |...| est donc avec B de la forme ci-dessus), alors la matrice obtenue par un changement de colonnes ou une multiplication d'une colonne par un complexe est encore solution. Transposé de M est encore aussi solution.

De là, si M est solution je peux toujours ramener M à la forme modulo toutes les permutations sur les 3 dernières lignes. Ca fait 6 cas à traiter.

En faisant alors quelques calculs , on trouve quelques solutions pour M :)

Par exemple, avec et on trouve bien un B tel que |b1-b3+i(b2-b4)|=2.

 

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