Solutions Complexe w

[Parisin]

Bonsoir à vous tous.
Je suis en PCSI et on a eu un Dm. Celui-ci est un peu difficile. Pourriez-vous m'aider ??


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Soit w une solution complexe différente de 1 de l'équation z^7=1.
1) Calculer : 1 + w + w^2 + w^3 + w^4 + w^5 + w^6.
2) Calculer :
w/(1+w^2) + w^2/(1+w^4) + w^3/(1+w^6).

3) Déduisez-en alors une expression ''simple'' de :
(¶=Pi)
1/(cos(2¶/7)) + 1/(cos(4¶/7)) + 1/(cos(6¶/7)).

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Alors pour le 1), pour calculer, j'ai raisonné en une Somme de 1 à 7 de w^n, ce qui donne la belle formule : (1-w^7)/(1-w). Est-ce ce qu'il faut ?

Pour le 2), j'ai essayé de calculer, mais je me retrouver avec une formule super longue après avoir tout mis sur une même fraction ! Y-a-t-il une méthode plus simple ??

Enfin pour le 3 .. Quel est le rapport ? Je vois bien pour le cosinus et le w, mais sinon .. On a plus le w sur le numérateur et le +1 sur le dénominateur ..
Comment faut-il voir ça ?


Merci si vous pouvez m'aider =)

[Nightmare]

Salut !

1) Oui et w^7=1 ! donc ta somme est nulle.

Autre manière de le voir : w^7=1 => w^7-1 = 0 mais ceci équivaut à (w-1)(1+w+...+w^6)=0 et comme w est différent de 1...

2) Maintenant que tu as trouvée que la somme au dessus est nulle, ça ne devrait plus être trop compliqué à calculer !

[Parisin]

Je suis content qu'au moins le 1 soit juste !


Pour le 2), si je dois m'aider du 1), en regardant ma formule finale, je n'ai pas au numérateur de w^6, w^9, w^12 ou encore 1. Je n'arrive pas voir en quoi ce résultat m'aide =/ ?
Cela suppose-t-il que la finalité c'est que cette somme est nulle ?


Pour le 3, j'ai encore du mal à voir le rapport.
Dois-je transformer l'expression en :
1/w^2 + 1/w^4 + 1/w^6 ?

[Pythales]

Pour le 2, réduis au même dénominateur, en remarquant que

[Parisin]

J'arrive quand même à quelque chose d'irréductible :

(2w+w^2+2w^3+w^4+4w^5+2) / (2+^2w+w^2+w^3+w^4+w^6).

A mos que j'ai fait une faute .. =/ Mais avec ça je vois pas où ça peut me mener, malgré votre aide pour réduire les termes !

[Pythales]

si c'est que

[Parisin]

'y suis arrivé merci ^^

Et pour le 3) j'ai compris qu'il faut remplacer les W par leur valeur en exponentielle (Solution 7-ème). Donc tout roule =D

Merci !