Solution d'un système d'équations différentielles

[droma]

Bonsoir à tous,
Mon problème est le suivant. J'ai un système de deux équations différentielles que j'ai linéarisé en utilisant la formule de Taylor à l'ordre 2 :

(\dot{x}(t) ; \dot{y}(t))' = (a b ; c d) (x(t)-xe ; y(t)-ye)' + 0.5 (e f ; g h)( (x(t)-xe)^2 ; (y(t)-ye)^2)' + k (x(t)-xe)(y(t)-ye)

avec a,b,c,d,e,g,h et k les dérivées partielles (d'ordre 1 et 2) de \dot{x}(t) et \dot{y}(t) par rapport à x et y et xe et ye les valeurs d'équilibre de x et y. (a b ; c d) et (e f ; g h) sont des matrices 2*2.

Je cherche la solution de ce système d'équations différentielles. La complication vient des termes au carré et du terme croisée (x(t)-xe)(y(t)-ye).
Si quelqu'un aurait une ébauche de solutions ou une référence intéressante sur ce sujet, je vous en remercie par avance.
Cordialement,
Romain

[XENSECP]

Salut,

Pourquoi l'ordre 2 ?

[adrien69]

Salut,

Pourquoi l'ordre 2 ?

Probablement du fait des valeurs d'équilibre.
Mais justement, là il n'est pas linéarisé.

[droma]

Probablement du fait des valeurs d'équilibre.
Mais justement, là il n'est pas linéarisé.

Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Le système est linéarisé en fait, j'ai fait une erreur dans mon premier post, les termes a,b,c...k sont les dérivées partielles (premières et secondes) de \dot{x}(t) et \dot{y}(t) par rapport à x et y.
Pourquoi l'ordre 2 ? Ce système dynamique apparaît dans un modèle économique particulier dans lequel il existe une troisième équation dynamique caractérisée par une valeur propre nulle. La solution non linéaire exacte de l'intégralité du système dynamique est donc extrêmement difficile à calculer numériquement. Avec une linéarisation à l'ordre 2, je chercher à me rapprocher un peu plus (que la linéarisation d'ordre 1) de la solution exacte.
Romain