Solution au sens des moindres carres

[maths-in]

Bonsoir

J'ai besoin d'aide pour la compréhension de mon cours

Je cherche à répondre par vrai ou faux à cett affirmation
La solution au sens des moindres carrés de l'équation Ax=b est le point de l'image de A le plus proche de b.


Si je note x^ (x chapeau) la solution au sens des moindres carres de lequation Ax=b je pense que c'est faux car pour le point de l'image de A le proche de b c'est le projeté orthogonal de b que je note b^ ( b chapeau)




mon probleme est vraiment un peu difficilie a expliquer...concretement pour moi le x^ ce n'est pas un point mais c'est un vecteur qu'on va multiplier par A pour nous donner b^ d'ou: Ax^=b^

donc quand je lis La solution au sens des moindres carrés de l'équation Ax=b est le point de l'image de A le plus proche de b

Je comprend que x^ est le point le plus proche de b or ce nest pas x^ mais Ax^

Je ne sais pas si je me fais comprendre

[Ben314]

Bonsoir,

Je ne sais pas si je me fais comprendre

Si c'est assez clair et je suis d'accord avec toi : "la solution de Ax=b" normalement, ça désigne plutôt le x.

Soit c'est fait exprès pour "tromper le client" et il faut répondre "non" sans hésiter, soit c'est "mal formulé" et il faut comprendre la question sous la forme :
"Si x est la solution au sens des moindres carrés de l'équation Ax=b alors Ax est le point de l'image de A le plus proche de b"
dont la réponse est...

[maths-in]

Ok on est d'accord !
Merci

[maths-in]

Juste une dernière question quand dit Ax=b le x c'est les coordones de b dans image de A c'est ca ?

[Ben314]

ben justement, non, pour moi le (ou les si A n'est pas injective) x se sont les antécédent par A du point de l'image de A qui est le plus proche de b.
Aprés, effectivement, modulo de prendre la bonne base pour l'image de A, les coordonnées de x, ça va être celles du projeté orthogonal de b sur l'image de A, mais en général, ça ne sera pas celle de b (sauf gros coup de pot et que b est en fait dans l'image de A)

De toute façon, dans ce genre de problèmes, la matrice A est quasi systématiquement rectangulaire (sinon ça n'a pas bien d'intérêt) donc le x et le b ne "vivent pas" dans le même R^d.
Après, effectivement, si A est injective, l'image de A est isomorphe au R^d "de départ" (celui dans lequel "vit" x) et tu peut prendre A comme isomorphisme "naturel" entre les deux.
Ça signifie au fond que tu "identifie" le x avec le Ax et ça permet effectivement de dire que le x vit aussi dans l'espace d'arrivé de A. Mais au niveau "calculatoire", je ne pense pas que ce point de vue soit très utile pour déterminer x connaissant A et b.