Solution particulière d'une équa diff.

[lisachatroux]

Bonjour,

Alors j'ai une équation différentielle : x' - 3x(t) = (3tcarré + 1)(cos(3t)) dont je dois trouver une solution particulière. J'ai pris la forme : (atcarré + b)(cos3t)
Quand je dérive du coup ça fait 2atXcos(3t) - 3sin(3t)(atcarré + b)

Quand j'injecte dans l'équation ça me donne : 2atcos(3t) - 3sin(3t)(atcarré + b) - 3(atcarré + b)cos(3t) =
(3tcarré + 1)cos(3t)

De là, je ne sais pas comment faire pour trouver a et b

[mathelot]

Bonsoir Lisa,
On peut additionner les solutions particulières. On cherche donc d'abord une solution particulière de l'équation
sous la forme
on trouve et d'où et

Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière de l'équation:

[mathelot]

Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière de l'équation:
(**) ,

En faisant "varier la constante" et en demandant au logiciel Wolfram Alpha de calculer une primitive,
on obtient comme solution particulière de (**) :



explications:
La solution générale de l'équation (**) sans second membre (dite équation homogène) est
où K est une constante réelle.
On cherche une solution particulière de l'équation (**) avec second membre sous la
forme , ce qui conduit à la formule de primitive:

On a donc:

(***)
et puis on a demandé à Wolfram Alpha de calculer cette primitive (***).
On obtient l'application

désigne la partie réelle d'un nombre complexe.

[mathelot]

Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière de l'équation:
($)

Suite au post précédent, pour revenir à ton exercice, on peut chercher une solution particulière s de ($) sous la forme:


où a,b,c,d,f,g sont des réels à déterminer.
ça donne un système de six égalités à six inconnues que l'on résout aisément (facilement).

On retrouve (on doit retrouver) la solution particulière calculée par Wolfram Alpha.

[mathelot]

Alors j'ai une équation différentielle : x' - 3x(t) = (3tcarré + 1)(cos(3t)) dont je dois trouver une solution particulière. J'ai pris la forme : (atcarré + b)(cos3t)

ce qui ne va pas dans la forme de ta solution particulière , c'est qu'il manque la partie avec sin(3t)
destinée à simplifier le sin(3t) issu de la dérivation du cos(3t)

[lisachatroux]

Coucou @mathelot,

Notre prof nous a demandé de ne pas résoudre l'équa diff avec la méthode de variation de la constante du coup j'ai du mal avec l'injection. Je ne comprends pas à partir du moment où tu dis que a = -b et que 6b=1

Pour la partie avec sin(3t), c'est 0sin(3t) donc ça ne change rien non ?

[mathelot]

j'ai du mal avec l'injection. Je ne comprends pas à partir du moment où tu dis que a = -b et que 6b=1

Soit l'équation x'-3x=cos(3t) (*) pour tout t réel.

On cherche une solution particulière de la forme







On égalise les coefficients.


d'où:









d'où est une solution particulière de l'équation (*)

[mathelot]

Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière de l'équation:
($)

Suite au post précédent, pour revenir à ton exercice, on peut chercher une solution particulière s de ($) sous la forme:


où a,b,c,d,f,g sont des réels à déterminer.
ça donne un système de six égalités à six inconnues que l'on résout aisément (facilement).

calcule s'(t) puis -3s(t) puis s'(t)-3s(t)

On a l'application linéaire

en entrée de , on lui donne la fonction
et comme image par F, on doit obtenir la fonction

[Black Jack]

Bonjour,

x' - 3x = (3tcarré + 1)*cos(3t)


Sol particulière de la forme : x = (at²+bt+c)*sin(3t) + (dt²+et+f)*cos(3t)

x' = (3at²+3bt+3c+2dt+e)*cos(3t) + (2at+b-3dt²-3et-3f)*sin(3t)

x'-3x = (3at²+3bt+3c+2dt+e-3dt²-3et-3f)*cos(3t) + (2at+b-3dt²-3et-3f-3at²-3bt-3c)*sin(3t)

A identifier avec x' - 3x = (3t² + 1)*(cos(3t))

--> le système :

2at+b-3dt²-3et-3f-3at²-3bt-3c= 0 pour tout t
3at²+3bt+3c+2dt+e-3dt²-3et-3f = 3t²+1 (pour tout t)

b-3c-3f= 0 (t=0)
-a-2b-3c-3d-3e-3f= 0 (t=1)
-5a+4b-3c-3d+3e-3f= 0 (t=-1)
3a-3d = 3
3c+e-3f = 1
3b+2d-3e=0

Système qui résolu donne : a = 1/2 ; b = 1/3 ; c = 2/9 ; d = -1/2 ; e = 0 ; f = -1/9

Une solution particulière de x' - 3x = (3t² + 1)*cos(3t) est :

x = (1/2.t² + 1/3.t + 2/9)*sin(3t) - (1/2.t² + 1/9)*cos(3t)

[lyceen95]

Juste un tout petit mot et je disparais.
Au tout début, quand tu recopies l'énoncé, tu écris l'équation :
Il faudrait écrire :

Ca ne change pas grand chose. Les matheux qui lisent ont compris et ont rectifié. C'était sous-entendu.
Mais quand on n'est pas à l'aise, il faut éviter les sous-entendus. La formule rigoureuse c'est celle que j'ai écrite.
L'écriture avec les sous-entendus, c'est réservé aux experts.

On a le droit d'utiliser des écritures raccourcies, si on est 100% conscient que c'est une écriture raccourcie, et si on est à tout moment capable de remplacer l'écriture raccourcie par l'écriture rigoureuse.

Si on n'est pas conscient que c'est une écriture raccourcie, alors certes, c'est plus rapide à taper, mais c'est source d'erreurs.

Ici, quitte à raccourcir l'écriture, on devrait écrire : ... et ça devient illisible, même pour un expert.

[mathelot]

Il ne reste plus qu'à trouver une solution particulière de l'équation:
($)

Suite au post précédent, pour revenir à ton exercice, on peut chercher une solution particulière s de ($) sous la forme:


où a,b,c,d,f,g sont des réels à déterminer.
ça donne un système de six égalités à six inconnues que l'on résout aisément (facilement).

Soit une solution particulière de ($):




on calcule puis puis







cela conduit aux systèmes équivalents:










Une solution particulière de ($) est:



Il ne reste plus qu'à ajouter les deux solutions particulières pour obtenir une solution particulière
de l'équation initiale de l'énoncé.

[mathelot]

Somme de deux solutions particulières:

soit l'équation
(i)
où et sont deux fonctions réelles.

I désigne un intervalle de la droite réelle.

On suppose avoir une solution particulière de



et avoir une solution particulière de


On a:
pour tout t dans I:



on peut ajouter les deux égalités membres à membres, par linéarité on obtient:

soit

donc une solution particulière de (i) définie sur I, est obtenue en sommant les deux solutions particulières.

Ici,