Solution particulière d'une équa diff du second ordre.

[lisachatroux]

Bonjour,

J'ai cette équation y''(t) + y(t) = t(carré)cos(t) dont je dois trouver une solution particulière par méthode de variation de la constante. Mais je ne sais pas trop comment démarrer

[Black Jack]

Bonjour,

Solutions de y" + y = 0 :
y = A.sin(t) + B.cos(t)
*****
Solution particulière de y" + y = t².cos(t)

Si on a oublié la forme que prendra une solution équivalente dans une relle équation ... on la cherche par variations des constantes de la solution de l'équation caractéristique.

Une solution particulière sera donc de la forme : y = f.sin(t) + g.cos(t) (avec f et g des fonctions de t)

y' = f'.sin(t) + f.cos(t) + g'.cos(t) - g.sin(t)
y'' = f''.sin(t) + 2f'.cos(t) - f.sin(t) + g''.cos(t) - 2g'.sin(t) - g.cos(t)

y" + y = f''.sin(t) + 2f'.cos(t) - f.sin(t) + g''.cos(t) - 2g'.sin(t) - g.cos(t) + f.sin(t) + g.cos(t)
y" + y = f''.sin(t) + 2f'.cos(t) + g''.cos(t) - 2g'.sin(t)
à identifier avec y'' + y = t².cos(t)

On arrive donc au système :
f'' - 2g' = 0
2f' + g'' = t²

g' = f''/2
g'' = f'''/2
--> 2f' + f'''/2 = x²

Poser f' = u --> 2u + u''/2 = x²

qui peut être résolu classiquement : une solution est u = t²/2 - 1/4
f' = t²/2 - 1/4
f = t³/6 - t/4

g'' = t² - 2f' = t² - t² + 1/2 = 1/2
g' = t/2
g = t²/4

Donc une solution particulière est y = (t³/6 - t/4).sin(t) + (t²/4).cos(t)
*****
Solutions générales de y" + y = t².cos(t)

y = (t³/6 - t/4).sin(t) + (t²/4).cos(t) + A.sin(t) + B.cos(t)

y = (A + t³/6 - t/4).sin(t) + (B + t²/4).cos(t)

avec A et B des constantes réelles.

Rien relu.

[Ben314]

Salut,

y" + y = f''.sin(t) + 2f'.cos(t) + g''.cos(t) - 2g'.sin(t)
à identifier avec y'' + y = t².cos(t)

On arrive donc au système :
f'' - 2g' = 0
2f' + g'' = t²

Hummmmmm.
Ca m'interesserait fort d'avoir une vrai preuve de ton "identification", c'est a dire de savoir comment tu fait pour deduire que A=C et B=D partant de Acos+Bsin=Ccos+Dsin (ou A,B,C,D sont des fonctions).
En fait pour la methode de variation de la constante dans le cas des equa-diff. d'ordre >1 il y a au depart des equations en plus de celle que tu ecrit. Et une facon de retrouver lesquelles, c'est de considerer qu'une equa-diff. d'ordre >1, c'est en fait une equa-diff. d'ordre 1, mais dont l'inconnue est une fonction vectorielle.

[mathelot]

bonjour,
@Ben314: on cherche une condition suffisante d'existence d'une solution particulière.
Or il suffit d'identifier pour que cela marche.

[Ben314]

Peut-etre, mais c'est pas idiot non plus de connaitre effectivement ce qu'est la methode de variaton de la constante dans le cas des equa-diff. d'ordre >1.
Surtout si effectivement l'énoncé demande d'utiliser la méthode en question.

[mathelot]

re,
je te montre la méthode canonique, celle de wikipédia et celle que l'on trouve dans les cours.
On a l'équation . L'équation homogène a deux solutions linéairement indépendantes


On cherche une solution particulière de l'équation avec second membre sous la forme

où et sont deux fonctions à déterminer.

On pose le système


On résout le système par la méthode des déterminants de Cramer:



on a donc



On intègre en cherchant des primitives sous la forme:
où a,b,c,d,e,f sont des réels.

je n'écris pas les calculs suivants.

on trouve finalement comme solution particulière:


et comme solution générale

où A et B sont deux réels.

soit les mêmes résultats que ceux de BlackJack

PS: vers la fin des calculs, on a utilisé les deux identités

et


au début des calculs, on a utilisé les deux identités

et


https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89qua ... %C3%A9rale

[Black Jack]

re,
je te montre la méthode canonique, celle de wikipédia.
On a l'équation . L'équation homogène a deux solutions linéairement indépendantes


On cherche une solution particulière de l'équation avec second membre sous la forme

où et sont deux fonctions à déterminer.

On pose le système


On résout le système par la méthode des déterminants de Cramer:



on a donc



On intègre en cherchant des primitives sous la forme:
où a,b,c,d,e,f sont des réels.

je n'écris pas les calculs suivants.

on trouve finalement comme solution particulière:


et comme solution générale


soit les mêmes résultats que BlackJack

Tout à fait, c'est pile poil la méthode que j'ai utilisée à l'un ou l'autre détour équivalent près.

[Ben314]

Ben non c'est pas la methode que tu as employe vu que tu es parti avec UNE seule des deux equations caracterisant les deux fonctions recherchees.

[Ben314]

Et sinon,effectivement, la présentation de la méthode sur wiki est passablement mauvaise : introduire DEUX (fonctions) inconnues, à savoir lambda et mu avec UNE seule équation, c'est clairement pas logique.
L'article devrait être corrigé en rajoutant, après le "on cherche la solution sous la forme y=lambda.f1+mu.f2" avec EN PLUS y'=lambda.f1'+mu.f2'.

[mathelot]

@ben: tu aurais un cours sur les équations diff. où c'est mieux expliqué ?

[Ben314]

Y'a pas grand chose à expliquer : le seul truc c'est de comprendre qu'une equa-diff. d'ordre quelconque, ben c'est une equa-diff. d'ordre 1 avec comme inconnue une fonction vectorielle (et c'est pour ça que toute la théorie ne parle que de celles d'ordre 1)
Par exemple ou et sont des fonctions, ça peut s'écrire avec et
Ensuite, les solutions de vont être de la forme ou est une matrice 2x2 dont les coeff. sont des fonctions et qui, vu le contexte, est de la forme et où est un vecteur colonne constant arbitraire.
Et la méthode de variation de la constante, ça consiste à prendre à la place un vecteur dont les coeff. sont des fonctions.