Solution particulière d'une eq diff

[emi28300]

Bonjour,

Il faut que je résolve l'équation diff :

sin(x)*y'(x) = cos(x)*y(x) +(sin(x))^3
J'ai trouvé comme solution de l'équation homogène exp(ln (|sin(x)|))= |sin(x)|
mais je ne trouve pas de solution particulière, vous pouvez me donner un indice ?

[Ben314]

Salut,

A mon avis, a ton niveau, vu que la solution générale ressemble pas mal au second membre, il faut que tu utilise la méthode de "variation de la constante" qui consiste à écrire que y=lambda.sin(x) où lambda est une fonction (à déterminer)

P.S. Les solutions de l'équation homogènes sont les y(x)=lambda.sin(x) où lambda est une constante arbitraire (et pas uniquement la fonction y(x)=sin(x))

[WillyCagnes]

bjr

une solution à tester:

Y=k.sin(x) -sin(x).cos(x)

[Black Jack]

Méthode un poil différente :

sin(x)*y'(x) = cos(x)*y(x) +(sin(x))^3

sin(x)*y' - cos(x)*y = sin³(x)

Poser y = u.v
y' = uv' + u'v

sin(x).(uv' + u'v) - cos(x).u.v = sin³(x)

u(v'.sin(x) - v.cos(x)) + u'v.sin(x) = sin³(x)

Cherchons une expression de v telle que : v'.sin(x) - v.cos(x) = 0

v'/v = cos(x)/sin(x) (Si x différent de k.Pi)
ln|v| = ln|sin(x)|
---> v = sin(x) convient.

L'équation devient : u'.sin(x).sin(x) = sin³(x)

u' = sin(x)
u = -cos(x) + K

y = (-cos(x) + K) * sin(x)
*****
Si x = k.Pi, l'équation de départ impose y = 0

---> 0 = (+/-1 + K) * 0 (OK pour tout K)

Solutions sur R : y = (-cos(x) + K) * sin(x)
Avec K une constante réelle.

:zen:

[Ben314]

Heuuuuu, c'est certes trés joli, mais... pas vraiment différent :

Cherchons une expression de v telle que : v'.sin(x) - v.cos(x) = 0

Ca c'est ce que l'on appelle habituellement "l'équation homogène associée"

Poser y = u.v

et ça, où v est une solution de l'équation homogène associée et où u est une fonction à déterminer, c'est ce qu'on appelle la méthode de "variation de la constante".

Ah, si, il y a quand même une "variante" : d'habitude, on résout l'E.H. associée avant de poser y=u.v

[Black Jack]

C'est bien pourquoi, j'ai écrit "un poil différent"

Cette méthode n'est pas moins bonne que l'autre et certainement pas plus difficile à comprendre.

Demande au 1er quidam qui passe de démontrer que les solutions de l'équation différentielle est la somme des solutions de l'équation avec second membre = 0 et d'une solution particulière de l'équation complète ...
Et 9 fois sur 10, il en est incapable.
Avec la méthode que j'ai utilisée, ce problème ne se présente pas. (mais on s'en fout).

Les 2 méthodes sont correctes et même si elles sont quasi les mêmes, il n'y a aucune bonne raison pour rejeter l'une à l'avantage de l'autre.

La méthode "classique" est due à Lagrange.
La méthode que j'ai utilisée (en posant y = uv ...) est due à Bernoulli

:zen:

[Ben314]

On va pas non plus y passer 3 plombes, mais les 9/10 quidams dont tu parles pas foutu de retrouver pourquoi une solution particulière + les solution de (E.H.) donnent les solution de (E), ça m'étonnerais beaucoup qu'il comprennent pourquoi, avec deux fonctions inconnues, on procède a la factorisation que tu as fait à la 3em ligne de ton post.

Donc, à mon sens, pour les "pas trop fortiche", le cadre dans lequel on présente le schmilblick à l'heure actuelle, à savoir de commencer par l'E.H. puis, si besoin est (et surtout, uniquement si besoin est, et pas systématiquement), de faire la variation de la constante est nettement préférable, à la fois pour des raisons "pédagogiques", mais aussi, voire surtout, du fait de ce "si besoin est".

[Black Jack]

Et qui a dit que si le "besoin est" n'y est pas, on serait obligé (du seul fait de la connaître) d'utiliser la méthode de Bernoulli ? :we:

On choisit une méthode adaptée à la résolution du problème posé .
S'il en existe plusieurs pour traiter un exercice particulier, on tente de choisir la plus directe et si il y en a plusieurs de complexité presque identique ... on prend celle qu'on veut.

Mais, avec le niveau actuel, je conçois qu'il est plus facile de privilégier l'automatisme (ne fut-il pas compris) et pas l'enrichissante diversité.

:zen:

[Ben314]

Personnellement, au niveau pédagogique (a un niveau "non pédagogique, je pense qu'on s'en fout vu que c'est la même chose qu'on fait dans les deux cas), si je privilégie la méthode E.H. puis recherche d'une solution particulière, c'est du fait que, depuis Lagrange et Bernoulli, les maths ont un peu progressé et qu'on a découvert la notion de "structures".
Et que, lorsque les étudiant on vu ce qu'est un espace vectoriel et un espace affine (soit avant, soit après les équa diff.), il me semble que c'est intéressant a plein de point de vue de signaler que les solutions d'une equa.diff. linéaire homogène c'est un s.e.v. (de l'ensemble des fonctions) et que les solution d'une équa .diff. linéaire non homogène, c'est un sous espace affine qui a comme s.e.v. directeur les solutions de l'équa. diff homogène associée.
Ensuite, comme pour n'importe quel sous espace affine, ça semble judicieux de commencer par étudier le s.e.v. directeur puis de chercher un point du s.e.a. pour terminer en disant que s.e.a.=point+s.e.v.
En ce moment, j'enseigne les équa.diff. a des étudiant n'ayant pas encore vu la notion d'e.v. ou d'e.a., mais j'essaye tout de même de montrer qu'il y a une "analogie frapante" avec le chapitre précédent où, pour écrire les équation paramétrique d'une droite, on prend "point_quelconque_de_la_droite+\lambda.vecteur_directeur"

Aprés, effectivement, on peut utiliser "zéro structure", la preuve, c'est que Bernouilli et Lagrange n'en avait pas à leur disposition et résolvaient quand même les équa. diff. mais perso., je pense que c'est pas stupide d'en utiliser et donc a chaque fois qu'on est dans un contexte qui rentre dans le cadre d'une structure classique (groupe, anneau,...), je privilégie la méthode qui est celle du cas général de la structure en question plutôt qu'une autre.

Mais, bon, c'est des problème de pédagogie et la pédagogie est tout... sauf une science exacte...
Et effectivement, on peut parfaitement dire que l'invention des "structures" reliant des domaines trés variés pour montrer qu'au fond les méthodes employées sont les mêmes (sur des objets différents), au fond, ça consiste à "privilégier l'automatisme".

[Ben314]

Personnellement, au niveau pédagogique (a un niveau "non pédagogique, je pense qu'on s'en fout vu que c'est la même chose qu'on fait dans les deux cas), si je privilégie la méthode E.H. puis recherche d'une solution particulière, c'est du fait que, depuis Lagrange et Bernoulli, les maths ont un peu progressé et qu'on a découvert la notion de "structures".
Et que, lorsque les étudiant on vu ce qu'est un espace vectoriel et un espace affine (soit avant, soit après les équa diff.), il me semble que c'est intéressant a plein de point de vue de signaler que les solutions d'une equa.diff. linéaire homogène c'est un s.e.v. (de l'ensemble des fonctions) et que les solution d'une équa .diff. linéaire non homogène, c'est un sous espace affine qui a comme s.e.v. directeur les solutions de l'équa. diff homogène associée.
Ensuite, comme pour n'importe quel sous espace affine, ça semble judicieux de commencer par étudier le s.e.v. directeur puis de chercher un point du s.e.a. pour terminer en disant que s.e.a.=point+s.e.v.
En ce moment, j'enseigne les équa.diff. a des étudiant n'ayant pas encore vu la notion d'e.v. ou d'e.a., mais j'essaye tout de même de montrer qu'il y a une "analogie frapante" avec le chapitre précédent où, pour écrire les équation paramétrique d'une droite, on prend "point_quelconque_de_la_droite+\lambda.vecteur_directeur"

Aprés, effectivement, on peut utiliser "zéro structure", la preuve, c'est que Bernouilli et Lagrange n'en avait pas à leur disposition et résolvaient quand même les équa. diff. mais perso., je pense que c'est pas stupide d'en utiliser et donc a chaque fois qu'on est dans un contexte qui rentre dans le cadre d'une structure classique (groupe, anneau,...), je privilégie la méthode qui est celle du cas général de la structure en question plutôt qu'une autre.

Mais, bon, c'est des problème de pédagogie et la pédagogie est tout... sauf une science exacte...

Et pour reprendre ta dernière phrase, je pense que l'invention des "structures" reliant des domaines trés variés pour montrer qu'au fond les méthodes employées sont les mêmes (sur des objets différents),ça consiste effectivement à "privilégier l'automatisme au détriment de la diversité" :
Le truc que je manipule est un espace vectoriel => (automatisme) j'utilise les outils dédiés aux espaces vectoriels.

[zygomatique]

salut

un "automatisme" est aussi un "savoir-faire" associé à une structure ....

ainsi la reconnaissance d'une structure permet d'adapter directement les méthodes et outils associés à cette structure .... plutôt que de toujours tout refaire ou repartir à zéro ...

c'est un des intérêts de la mémoire .... réinvestir des savoirs(-faire) de façon automatique ou méthodique à des structures reconnues et qui permettent d'atteindre le résultat cherché ... sans perde de temps à toujours tout refaire ....

[Black Jack]

salut

un "automatisme" est aussi un "savoir-faire" associé à une structure ....

ainsi la reconnaissance d'une structure permet d'adapter directement les méthodes et outils associés à cette structure .... plutôt que de toujours tout refaire ou repartir à zéro ...

c'est un des intérêts de la mémoire .... réinvestir des savoirs(-faire) de façon automatique ou méthodique à des structures reconnues et qui permettent d'atteindre le résultat cherché ... sans perde de temps à toujours tout refaire ....

Oui, mais bof ...

Celui qui suit le chemin "automatisme" lorsque (pas le cas dans l'exercice de ce topic) un autre chemin plus direct conduit à la solution mériterait d'être sanctionné... Et le serait sûrement , hors enseignement, pour manque de "productivité".

:zen:

[Ben314]

Celui qui suit le chemin "automatisme" lorsque (pas le cas dans l'exercice de ce topic) un autre chemin plus direct conduit à la solution mériterait d'être sanctionné... Et le serait sûrement , hors enseignement, pour manque de "productivité".

Je suis loin d'être convaincu que, même hors cursus scolaire, celui que apporte une solution en 1h a un problème spécifique soit "mieux vu" que celui qui, en 2h apporte une solution à tout les problèmes du même type qui peuvent se poser.

En bref, je pense que de dégager des "structures" derrières les opérations que l'on fait, ce n'est pas du tout à seul but "pédagogique" (la preuve en est que, justement ces notions de structure passent assez mal dans l'enseignement et que beaucoup d'étudiant préfèrerais des "petites astuce" a apprendre par coeur pour traiter les problème au "cas par cas")

Mais, bon, ça sera ma dernière intervention : je le redit, le choix d'enseigner tel ou tel méthode (et il me semble quand même que c'est de ça qu'on parle ici lorsque l'on juge la "pertinence" des réponse de chacun et qu'on ne parle pas de "productivité économique"...) donc le choix de la méthode, c'est de la pédagogie et ce n'est pas une science exacte.
J'ai donné mon point de vue : si le truc qu'on manipule c'est un espace affine alors j'utilise de préférence les méthodes dédiés aux espaces affine plutôt que du "bricolage" (même si le bricolage est plus rapide) et... c'est mon choix pédagogique... Chacun fait comme il veut avec ces étudiants...

[Black Jack]

Je suis loin d'être convaincu que, même hors cursus scolaire, celui que apporte une solution en 1h a un problème spécifique soit "mieux vu" que celui qui, en 2h apporte une solution à tout les problèmes du même type qui peuvent se poser.

En bref, je pense que de dégager des "structures" derrières les opérations que l'on fait, ce n'est pas du tout à seul but "pédagogique" (la preuve en est que, justement ces notions de structure passent assez mal dans l'enseignement et que beaucoup d'étudiant préfèrerais des "petites astuce" a apprendre par coeur pour traiter les problème au "cas par cas")

Mais, bon, ça sera ma dernière intervention : je le redit, le choix d'enseigner tel ou tel méthode (et il me semble quand même que c'est de ça qu'on parle ici lorsque l'on juge la "pertinence" des réponse de chacun et qu'on ne parle pas de "productivité économique"...) donc le choix de la méthode, c'est de la pédagogie et ce n'est pas une science exacte.
J'ai donné mon point de vue : si le truc qu'on manipule c'est un espace affine alors j'utilise de préférence les méthodes dédiés aux espaces affine plutôt que du "bricolage" (même si le bricolage est plus rapide) et... c'est mon choix pédagogique... Chacun fait comme il veut avec ces étudiants...

C'est n'importe quoi, celui capable de voir les raccourcis n'est pas, pour cela, incapable d'emprunter la voie automatique si des raccourcis n'existent pas.

:zen: