Solution particulière éq. diff.- à quel SEV appartient-elle?

[adexvectorquantic]

Bonjour,

J'aimerais savoir, du point de vue de l'algèbre linéaire, à quel sous espace vectoriel appartient la solution particulière, dans une équation différentielle à coefficients constants (du ordre par exemple). Je sais que le sous espace homogène est un plan de dimension . Mais pour ce qui est du sous espace vectoriel auquel appartient la solution particulière, je ne sais rien dessus (mis à part qu'il ne peut être confondu avec le sous espace homogène).
Aussi, en partant du principe que le SEV auquel appartient la solution particulière est dimension également, je suis troublé par le fait que dans ce cas l'intersection du SEV homogène et du SEV de la solution particulière est une droite et donc qu'on ne peut pas prendre la solution particulière appartenant à cette droite.

J'aurais aimé comprendre :
- s'il y a bel et bien un SEV auquel appartient la solution particulière?
- comment on exprime la particularité mentionnée plus haut, à savoir que la solution particulière appartient à un plan privé d'une droite? Je trouve ça peu naturel.
Bonne journée,
Merci.

[Rdvn]

Bonsoir
avez vous toujours les mêmes questions ?
si oui j’essaierai de vous aider malgré le peu de temps dont je dispose

[adexvectorquantic]

Bonjour,

J'ai réalisé que le SEV auquel appartient la solution particulière n'intersecte pas le SEV de la solution homogène. En effet, on n'est pas limité à .
En revanche, je me pose toujours la question de comment on trouver le SEV (notons-le U) auquel appartient la solution particulière. En particulier, cette solution particulière étant une combinaison linéaire de la base (formée de deux vecteurs) de U, elle comprend, j'imagine, deux constantes.
On aurait alors 4 constantes au total (2 de la solution homogène + 2 de la solution particulière).
Comment déterminer ces 4 constantes, sachant qu'on n'a que deux conditions initiales?

Mettons par exemple que le discriminant de l'équation caractéristique (d'une Equation Différentielle à coefficients constants d'ordre 2, avec un terme de droite non nul) soit positif. Et supposons de plus que le terme de droite est sinusoïdal (exemple : ).
Si on note les deux racines réelles de l'équation caractéristique, on aurait une solution générale de la forme :

où sont des constantes.

Un physicien me dirait peut-être que "vu que pour que le système soit stable, on peut déterminer les constantes en se plaçant à un temps très grand, où les termes exponentiels de la solution homogène seraient négligeables".

Mais ici, nous traitons bien du cas général où les racines de l'équations caractéristique peuvent être positives comme négatives.

Ou alors se pourrait-il que les constantes puissent se trouver sans les conditions intiales. Tandis que se trouveraient à l'aide des conditions initiales?
Si oui, je ne comprends pas trop la théorie derrière la détermination de . Je vois bien comment on les détermine par le calcul (en injectant ) dans l'équation différentielle). Mais n'y a-t-il pas une théorie qui sous-tende cette détermination?
A supposer que l'on détermine en injectant la solution particulière dans l'équation différentielle, cela signifierait qu'on détermine séparément les constantes de la solution particulière de celles de la solution homogène. Or, j'ai plutôt tendance à penser qu'on prend la solution générale (et sa dérivée) à pour lever l'indétermination sur les constantes.

Merci,
Très bonne journée.

[adexvectorquantic]

Bonjour,

Pour ce qui est de la question soulevée dans mon dernier paragraphe, je pense avoir trouvé la réponse : injecter la solution générale ou la solution particulière dans l'équation différentielle revient au même (car la solution homogène vérifie "terme de gauche de l'équation différentielle = 0").

[Rdvn]

Je vais essayer de trouver un peu de temps en soirée pour vous apporter quelques remarques utiles

[adexvectorquantic]

Merci

[Rdvn]

Bonsoir,

Commençons par une représentation géométrique :
Dans E , un espace vectoriel sur R de dimension 3 (on se le représente comme ensemble des vecteurs de l'espace) on considère un plan vectoriel P et un vecteur v, non élément de P (donc v est non nul).
Soit H l'ensemble des vecteurs v+u , où u est un vecteur de P
H est une partie de E mais n'est pas un sous-espace vectoriel de E;
On peut toujours considérer un SEV contenant v, par exemple la droite vectorielle de base (v) , ou d'autres ,
mais il faut savoir quel est le but recherché en faisant cela.

A présent vous êtes dans la même situation avec P , plan vectoriel de l'ensemble solution de l'équation homogène , v une solution particulière de l'équation avec second membre , et H ensemble solution de l'équation avec second membre.

Ceci répond il , au moins en partie, à vos préoccupations ?

[adexvectorquantic]

Bonjour,

Oui cela répond en partie à mes questions. (j'étais déjà familier avec la notion d'espace affine).

Merci.

[Rdvn]

En conclusion , il y a donc bien deux constantes à déterminer par les deux conditions initiales
(et non quatre) .
Avez vous d'autres questions ?

[adexvectorquantic]

Je n'ai pas d'autres questions

Merci