Solution globale équation différentielle

[Ssbb]

Bonjour,

Je voudrais comprendre la notion de solution globale. J’ai 2 questions

1) pourquoi le théorème de Cauchy Lipschitz donne des solutions globales ?

2) pourquoi l’équation x’=x^2 (ed linéaire) ne possède pas de solution globale ?

Merci d’avance pour vos réponses

[mathelot]

Bonjour,
sauf erreur de ma part, Cauchy-Lipschitz donne une solution maximale (I,f) de l'équation, pas nécessairement une solution globale.

[Ssbb]

Ah bon ? Ben alors je ne comprend plus rien, avez vous des exemples svp de solution globale et maximales ?

Merci

[mathelot]

Bonsoir,

soit une équation (E):

où F est une application de dans.

Soient I et J deux intervalles. Une solution de (E) est un couple où
f, définie sur I, est solution de l'équation.

on a une relation d'ordre partiel entre deux solutions de l'équation


Le théorème de Cauchy dit que toute solution du problème est majorée par une solution maximale
(la démo utilise le lemme de Zorn)

Par contre, une solution globale, je ne vois pas trop ce que c'est. Est ce une solution définie sur R tout entier ?

[tournesol]

Voir : point d'unicité locale(une seule solution est définie au voisinage du point) , point d'unicité globale(une seule solution maximale passant par ce point)