Solution de l'équation de d'Alembert

[sylwa]

Bonjour !

Lorsqu'on lit dans la littérature la résolution de l'équation de d'Alembert à une dimension spatiale, les auteurs affirment tous qu'elle est une fonction d'une seule variable, voyez par exemple :



Cela me pose un problème car on pourrait aussi dire la même chose dans le cas de l'équation de d'Alembert à 3D d'espace et ramener a(x,y,z,t) à une fonction d'une seule variable f(u) avec u = (k1.x+k2.x+k3.x-ct)

Bref, peut on dire que toute fonction de n variables peut être ramenée à une fonction d'une seule variable !?!? Et par conséquent, exprimer toutes ses dérivées partielles d'ordre 1 en fonction d'une seule dérivée simple ?
Je n'arrive pas à trouver de ressource pédagogique sur le sujet. Pourriez vous m'éclairer ?

Amicalement

Sylvain

[Pythales]

Bonjour !

Lorsqu'on lit dans la littérature la résolution de l'équation de d'Alembert à une dimension spatiale, les auteurs affirment tous qu'elle est une fonction d'une seule variable, voyez par exemple :



Cela me pose un problème car on pourrait aussi dire la même chose dans le cas de l'équation de d'Alembert à 3D d'espace et ramener a(x,y,z,t) à une fonction d'une seule variable f(u) avec u = (k1.x+k2.x+k3.x-ct)

Bref, peut on dire que toute fonction de n variables peut être ramenée à une fonction d'une seule variable !?!? Et par conséquent, exprimer toutes ses dérivées partielles d'ordre 1 en fonction d'une seule dérivée simple ?
Je n'arrive pas à trouver de ressource pédagogique sur le sujet. Pourriez vous m'éclairer ?

Amicalement

Sylvain

La solution proposée n'est qu'un cas particulier.
Si je pose
et
je trouve facilement
et
ce qui donne finalement pour l'équation

dont la solution est

et étant des fonctions arbitraires, et sont 2 variables indépendantes.

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Non, on ne peut pas dire ça.
Ici on prend une fonction de variable x et t, on la note a et on la prend de manière à ce qu'il existe une fonction f d'une seule variable telle que a(x,t) = f(x-c.t).
On vérifie ensuite que cette fonction a est solution.

[Doraki]

Ben dans ce cas là tu n'obtiens qu'une réponse partielle à l'équation différentielle, parceque rien ne grantit que toutes les solutions sont de la forme a(x,t) = f(x-ct).

Pour le problème "unidimensionnel", tu peux poser le changement de variable y(x,t) = x-ct, z(x,t) = x+ct.
Si tu appelles b la fonction de deux variables y et z, qui vérifie b(y(x,t),z(x,t)) = a(x,t), ton équation devient simplement d²b/dydz = 0, c'est à dire b(y,z) = f(y) + g(z), et donc a(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)

Je ne suis pas sûr que le cas multidimensionnel soit aussi simple.

[Skullkid]

Dans le cas multidimensionnel on peut aussi montrer - si je ne dis pas d'âneries - que les solutions sont les fonctions qui se projettent sur chacune des coordonnées spatiales en une fonction de la forme donnée par Pythales et Doraki (somme d'une onde progressive et d'une onde régressive de même célérité c).

Le plus souvent on ne s'intéresse d'ailleurs qu'aux solutions en (ondes monochromatiques) sur lesquelles on peut décomposer toute solution par Fourier.

[sylwa]

Bonjour,

Non, on ne peut pas dire ça.
Ici on prend une fonction de variable x et t, on la note a et on la prend de manière à ce qu'il existe une fonction f d'une seule variable telle que a(x,t) = f(x-c.t).
On vérifie ensuite que cette fonction a est solution.

Salut Arnaud et tous les autres !
Merci pour vos réponses.
Arnaud, ta fonction f dépend explicitement de x et t.
Alors pourquoi dis tu qu'elle ne dépend que d'une seule variable ?
Mon problème fondamental est que je vois écrit partout que f(x-ct) est une fonction d'une seule variable alors que c'est pour moi une fonction de R2 dans R...

[Arnaud-29-31]

a, solution de l'équation de d'alembert est une fonction de dans
et f une fonction de dans .




Et pour u = x -c.t on a a(x,t) = f(u)


Pour un exemple parlant :
On peut prendre la fonction a telle que et la fonction f telle que . On a bien a fonction de dans et f fonction de dans et .

[Doraki]

Salut Arnaud et tous les autres !
Merci pour vos réponses.
Arnaud, ta fonction f dépend explicitement de x et t.
Alors pourquoi dis tu qu'elle ne dépend que d'une seule variable ?
Mon problème fondamental est que je vois écrit partout que f(x-ct) est une fonction d'une seule variable alors que c'est pour moi une fonction de R2 dans R...

En physique on amalgame allègrement les fonctions et les variables donc c'est souvent pas très clair.

f est une fonction d'1 variable. Tu peux donner le nom que tu veux à la variable, par exemple y.
y -> f(y) est une fonction d'1 variable.
Pour exprimer la fonction a de 2 variables (la fonction (x,t) -> a(x,t)) en terme de f, tu dois mettre une expression pour la variable y de f qui dépende de x et de t. Ici, l'expression c'est x-ct.
Du coup, tu obtiens une fonction de 2 variables (x,t) -> f(x-ct). C'est la composition de la fonction (x,y) -> (x-ct) et de la fonction y -> f(y). Souvent la fonction (x,t) -> (x-ct) on l'appelle y, donc y désigne plusieurs trucs et ça peut perturber.

[sylwa]

En physique on amalgame allègrement les fonctions et les variables donc c'est souvent pas très clair.

f est une fonction d'1 variable. Tu peux donner le nom que tu veux à la variable, par exemple y.
y -> f(y) est une fonction d'1 variable.
Pour exprimer la fonction a de 2 variables (la fonction (x,t) -> a(x,t)) en terme de f, tu dois mettre une expression pour la variable y de f qui dépende de x et de t. Ici, l'expression c'est x-ct.
Du coup, tu obtiens une fonction de 2 variables (x,t) -> f(x-ct). C'est la composition de la fonction (x,y) -> (x-ct) et de la fonction y -> f(y). Souvent la fonction (x,y) -> (x-ct) on l'appelle y, donc y désigne plusieurs trucs et ça peut perturber.

Salut Doraki,
Merci pour cet éclaircissement.
Il y a une petite typo dans ton explication je pense : (x,y) -> (x-ct) devrait être remplacé par (x,t) -> (x-ct)

Amicalement

Sylvain

[sylwa]

a, solution de l'équation de d'alembert est une fonction de dans
et f une fonction de dans .




Et pour u = x -c.t on a a(x,t) = f(u)


Pour un exemple parlant :
On peut prendre la fonction a telle que et la fonction f telle que . On a bien a fonction de dans et f fonction de dans et .

Merci Arnaud pour ta réponse.
Lorsque tu écris :

Et pour u = x -c.t on a a(x,t) = f(u)

tu affirmes implicitement que la surface a(x,t) est égale à la courbe f(u).
J'ai l'intuition que f est une restriction de a sur un domaine constitué d'une droite incluse dans le domaine de définition de a.
Comment rigoureusement formaliser cela ?
Merci pour ton aide.