Solution cherche équation.

par **c pi** » 06 Déc 2007, 10:39

Bonjour :salut:

Je profite de ma retraite récente pour réactualiser en série "S" (dans le seul domaine des mathématiques) un déjà lointain bac "math-élem".

Revoyant le chapître des complexes où l'on constate que

- sur la "droite" des nombres réels, l'équation x²+1=0 n'a pas de solution,

- l'adjonction d'une seconde dimension imaginaire au moyen du nombre i (tel que i²=-1) a permis de lui trouver des solutions dans le "plan" des nombres complexes,

je me suis posé la question suivante :

- l'adjonction d'une troisième dimension "j-maginaire" au moyen d'un nombre "j" (tel que ? j ? = ???) permet-elle de trouver des solutions, dans un "espace" d'autres nombres, à une équation simple demeurée sans solution "complexe" ?

Cela fait sûrement l'objet de quelque chapître étudié dans l'enseignement supérieur dont le lycéen attardé que je suis ignore jusqu'au titre.

MERCI de me donner l'une ou l'autre piste que je suivrai dans la mesure de mes possibilités en autodidacte curieux.

par **BQss** » 06 Déc 2007, 10:57

Pour les polynomes en tous cas, le le théorème de d'Alembert-Gauss fait qu'il n'est pas nécessaire d'aller chercher plus loin lorsque l'on recherche des racines.
Je n'ai si non jamais connu de situation ou l'apparition d'un "j" s'averait necessaire, les problemes dans C n'ayant pas de solution, n'étant pas du a des problemes "algébrique" mais topologique ou d'intégration et alors rajouter un j ne changerait pas a priori le caractère divergeant...

par **klevia** » 06 Déc 2007, 11:07

Ca remonte à loin, mais il ne me semble que l'on puisse trouver un espace de dimension 3 qui conserverait toutes les proprétés de R et C , il faut aller jusqu'à la dimension 4 et l'espace de quaternion me semble-t-il ...Mais je ne pourrais pas aller plus loin de mes explications ... Si ce n'est que l'espace des quaternions n'est pas commutatif...

par **c pi** » 06 Déc 2007, 11:16

Merci BQss pour ta réponse.

Le théorème d'Alembert-Gauss a éclairé ma lanterne :
pas d'ouverture algébrique...

par **c pi** » 06 Déc 2007, 11:19

klevia a écrit: il faut aller jusqu'à la dimension 4 et l'espace de quaternion me semble-t-il ...

Merci klevia, je vais fureter de ce côté-là.

par **c pi** » 06 Déc 2007, 11:30

Bingo !

Les quaternions furent 'découverts' par William Rowan Hamilton en 1843 à partir des travaux de Carl Friedrich Gauss et au siècle précédent Leonhard Euler. Il étudiait alors l'interprétation géométrique de l'arithmétique de nombres complexes dans le plan et cherchait à obtenir des résultats analogues dans l'espace à trois dimensions.

Appétissante introduction à cet article trouvé grâce à tes indications. MERCI mille fois klevia ! :++:

Solution cherche équation.

Solution cherche équation.

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