Solution analytique de : dy/dt=ay^3+by^2+cy+d

[ced_the_jedi]

Bonjour à tous
J'ai un petit problème mathématique à vous soumettre.
J'aimerais trouver la solution analytique de :
It is dy/dt=ay^3+by^2+cy+d

je sais presque le faire... Le problème étant que je ne trouves pas y(t)= à la fin mais un truc du style
[(y-y1)^e][(y-y2)^f][(y-y3)^g]=exp(-f(t))
avec y1, y2 et y3 des réels et f(t) une fonction simple de la variable t.

Je m'y prend comme ceci :

- je dois trouver les solutions du polynome ay^3+by^2+cy+d=0 (mes coefficients me permettent de dire que j'aurais trois solutions réelles à la fin) qui sont y1, y2, y3, et qui peuvent s'exprimer en fonction de a, b, c et d

- je peux donc écrire mon équadiff sous cette forme
dy/(ay^3+by^2+cy+d)=edy/(y-y1)+fdy/(y-y2)+gdy/(y-y3), avec e, f, g des constantes facile à déterminer en fonction de a, b, c et d.

- ensuite (mes variables étant séparable) j'intègre de chaque coté de l'égalité: edy/(y-y1)+fdy/(y-y2)+gdy/(y-y3)=-dt

- qui m'amène à ma forme (que je ne détaille pas complètement) :
[(y-y1)^e][(y-y2)^f][(y-y3)^g]=exp(-f(t))

--> Mon problème c'est que je voudrais avoir y(t)=... avec une formule analytique. (pour mon problème je peux tout à faire utiliser des outils numériques... mais une forme analytique serait super !)..
-->connaissez vous une méthode qui me permettrais d'y arriver à partir de cette forme, ou alors une méthode d'intégration différente. J'essai un traitement perturbatif mais ça m'a l'air assez long et pas exact...

En vous remerciant par avance car là je sèche... :cry:

[Anonyme]

ton message est très difficile à lire car tu n'a pas mis des équation entre balises TEX

voici un exemple :

1°) SANS : x^3/f0=g(x)^3/2

2°) AVEC :

je pense que si tu mets en forme ton texte ce sera beaucoup plus facile à comprendre ta problématique et tu auras plus de réponse :zen:

ps: sinon pour ton problème regarde du coté de la fonction W de Lambert (je ne peux pas t'en dire plus car je n'ai pas vraiment compris ton problème et je n'ai jamais réellement utilisé cette fonction W... désolé)

[JeanJ]

Bonjour à tous
J'ai un petit problème mathématique à vous soumettre.
J'aimerais trouver la solution analytique de :
It is dy/dt=ay^3+by^2+cy+d

je sais presque le faire... Le problème étant que je ne trouves pas y(t)= à la fin mais un truc du style
[(y-y1)^e][(y-y2)^f][(y-y3)^g]=exp(-f(t))
avec y1, y2 et y3 des réels et f(t) une fonction simple de la variable t.

Je m'y prend comme ceci :

- je dois trouver les solutions du polynome ay^3+by^2+cy+d=0 (mes coefficients me permettent de dire que j'aurais trois solutions réelles à la fin) qui sont y1, y2, y3, et qui peuvent s'exprimer en fonction de a, b, c et d

- je peux donc écrire mon équadiff sous cette forme
dy/(ay^3+by^2+cy+d)=edy/(y-y1)+fdy/(y-y2)+gdy/(y-y3), avec e, f, g des constantes facile à déterminer en fonction de a, b, c et d.

- ensuite (mes variables étant séparable) j'intègre de chaque coté de l'égalité: edy/(y-y1)+fdy/(y-y2)+gdy/(y-y3)=-dt

- qui m'amène à ma forme (que je ne détaille pas complètement) :
[(y-y1)^e][(y-y2)^f][(y-y3)^g]=exp(-f(t))

--> Mon problème c'est que je voudrais avoir y(t)=... avec une formule analytique. (pour mon problème je peux tout à faire utiliser des outils numériques... mais une forme analytique serait super !)..
-->connaissez vous une méthode qui me permettrais d'y arriver à partir de cette forme, ou alors une méthode d'intégration différente. J'essai un traitement perturbatif mais ça m'a l'air assez long et pas exact...

En vous remerciant par avance car là je sèche...

Bonjour

Pour quel besoin veux-tu obtenir la solution sous la forme y=f(t) plutôt que sous une autre forme ?
A quoi cela te servirait-il ?

[Vintarel]

Salut!

Si tu cherches la solution a :
[CENTER][/CENTER]

trouve une primitive de :
[CENTER][/CENTER]
Alors la solution y verifie :
[CENTER][/CENTER]

[ced_the_jedi]

Bonjour

Pour quel besoin veux-tu obtenir la solution sous la forme y=f(t) plutôt que sous une autre forme ?
A quoi cela te servirait-il ?

Bonjour JeanJ

Cela me servira à ajuster des données expérimentales. Je pourrais ajuster l'équation différentielle directement. C'est pas très compliqué (lisser les données expérimentales pour "s'affranchir" d'effets de bruit, dériver, puis ajuster cette dérivée par un polynôme de degré trois pour obtenir directement a, b, c, d et e, ce qui est un de mes objectifs).

Mais obtenir la forme analytique est intéressant car dans certains cas mon terme d'ordre trois pourrais être négligé (et la je retombe sur le même problème mais avec un degrés 2, et la je sais résoudre analytiquement).

[Vintarel]

Bonjour JeanJ

Cela me servira à ajuster des données expérimentales. Je pourrais ajuster l'équation différentielle directement. C'est pas très compliqué (lisser les données expérimentales pour "s'affranchir" d'effets de bruit, dériver, puis ajuster cette dérivée par un polynôme de degré trois pour obtenir directement a, b, c, d et e, ce qui est un de mes objectifs).

Mais obtenir la forme analytique est intéressant car dans certains cas mon terme d'ordre trois pourrais être négligé (et la je retombe sur le même problème mais avec un degrés 2, et la je sais résoudre analytiquement).

Comment fais-tu pour le degré 2?

[ced_the_jedi]

Comment fais-tu pour le degré 2?

ton équation deviens (désolé pour les férus de latex, je ne l'utilise plus depuis au moins 5ans...) :

tu as donc l'equadiff suivante : dy/dt=ay^2+by+c=0

tu mets ça sous la forme séparable :

dy/(ay^2+by+c)=-dt

que tu peux réécrire :

alpha[dy/(y-y1)]+beta[dy/(y-y2)]=-dt

tu trouves que alpha+beta=0 et tu as une autre équation qui relie alpha, a, b et c

tu integre donc

[dy/(y-y1)]-[dy/(y-y2)]=-dt/alpha

qui te donne ln[(y-y1)/(y-y2)]-ln[(y0-y1)/(y0-y2)]=-t/alpha

qui devient :

(y-y1)/(y-y2)=constante*exp(-1/alpha)

facile à résoudre ensuite avec y(t)=...