Singularité

par **kazeriahm** » 07 Oct 2007, 14:26

salut

on considère une fonction f de la variable complexe, holomorphe au voisinage de z0 sauf en z0 (a priori).

On sait alors que f admet un développement en série de Laurent sur toute couronne "ouverte" centrée en z0 incluse dans ce voisinage.

On me dit que si tous les coefficients d'indices négatifs sont nuls dans le développement, alors f est holomorphe en z0, on parle alors de singularité éliminable.

A vrai dire j'aimerai bien comprendre pourquoi ?!

Ca me fait penser à l'étude du comportement d'une série entière au bord de son disque de convergence...

Peut etre que c'est évident mais...

par **kazeriahm** » 07 Oct 2007, 14:33

et dans la lignée de cette question, une autre :

on me dit qu'une fonction méromorphe (quotient de deux fonctions holomorphes) n'admet pas de singularité essentielle.

Ce qui signifie que pour toute fonction f méromorphe, a partir d'un certain rang n, tous les a_(-n) sont nuls.

Existe-til une démonstration de ce théorème ? C'est surement lié à la formule de Cauchy qui dit que l'intégrale sur le bord d'un compact d'une fonction holomorphe sur ce compact est nulle?!

Je suis un peu perdu devant mon poly qui ne contient pas beaucoup de démos...

par **kazeriahm** » 07 Oct 2007, 20:34

juste un petit up et la deuxieme partie c'est reglé

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