[MPSI]simplifier une expression

[Anonyme]

Bonjour à tous, voici mon problème :

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Soit a un rationnel non nul, montrer que :

( (a^6 + 45.a^4 - 81.a^2 + 27)/(6a.(a^2+3)^2) )^3 + ( (-a^4 + 30.a^2 -
9)/(6a.(a^2+3)) )^3 + ( (-6.a^3 + 18a)/((a^2+3)^2) )^3 = a

Que peut-on en déduire ?
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C'est vrai que c'est pas très évident à lire comme ca, alors j'essaye de
l'écrire sous cette forme, en espèrant que ca sortira bien sur vos écrans :

(a^6 + 45.a^4 - 81.a^2 + 27)^3 (-a^4 + 30.a^2 - 9)^3 (-6.a^3 +
18a)^3
--------------------------------- + -----------------------
+ ------------------- = a
( 6a.(a^2+3)^2 )^3 ( 6a.(a^2+3) )^3
(a^2+3)^2 )^3

Ca marche en développant le tout (avec Maple), mais ca a l'air monstrueux à
faire à la main. Je flaire une astuce (avec ces coefficients multiples entre
eux), mais je sais pas laquelle :)

est ce que vous n'auriez pas une petite idée pour me lancer ? et aussi une
petite idée sur ce qu'on peut en déduire ?
merci infiniment !

[Anonyme]

Bonjour,

noublato écrivait :
> Ca marche en développant le tout (avec Maple), mais ca a l'air
> monstrueux à faire à la main. Je flaire une astuce (avec ces
> coefficients multiples entre eux), mais je sais pas laquelle

Mettre tout au même dénominateur (6a(a^2+3)^2)^3
Le numérateur devrait faire a(6a(a^2+3)^2)^3 de tête...

> est ce que vous n'auriez pas une petite idée pour me lancer ? et
> aussi une petite idée sur ce qu'on peut en déduire ?

Que l'exercice est idiot ?
Ou qu'un rationnel peut se décomposer en une somme de 3 rationnels ?
résultat remarquable n'est-ce pas ?

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit
> Que l'exercice est idiot ?
> Ou qu'un rationnel peut se décomposer en une somme de 3 rationnels ?
> résultat remarquable n'est-ce pas ?

Mais en une somme de trois cubes, c'est peut-être moins évident, non ?

Cordialement
Stéphane