Simple suite

[Near]

salut :id:
On considere la suite définie par et pour tout .
[CENTER][/CENTER]
1) Montrer en raisonnant par récurrence que cette suite est majorée par 2.
2)Montrer que
je peux pas dire que la suite converge vers 2.
merci.

[Helidjah]

Salut

Il faut passer à la limite dans ton inégalité : les inégalités strictes deviennent des inégalités larges.

Ainsi, si on note , on a :
.
Or, est positive et majorée par 2. Donc .
D'où .
On en déduit que i.e .

[Near]

Salut

Il faut passer à la limite dans ton inégalité : les inégalités strictes deviennent des inégalités larges.

Ainsi, si on note , on a :
.
Or, est positive et majorée par 2. Donc .
D'où .
On en déduit que i.e .

merci :id:
question : comment as-tu obtenu cette résultat, ?
:briques:

[Ben314]

Salut,
il me semble qu'il y a un petit soucis dans la méthode d'Helidjah : avant d'écrire : "si on note " , Il faudrait justifier que cette limite existe bel et bien....

Si on veut garder cette idée, il faudrait par exemple montrer que la suite est croissante ce qui, vu qu'elle est majorée montrerait que la limite existe.

A mon avis, vu la question précédente, ce n'est pas la solution attendue.
Je pencherai plus pour une récurrence :
Partant de la formule on conclue en utilisant le théorème des gendarmes.

[Helidjah]

est majorée par 2 sous-entend que . Or la fonction est inférieure à l'identité sur .
Donc .

Comme le fait remarquer Ben314, il faut nécessairement montrer que la suite est croissante. Désolé pour le manque de rigueur.

[Near]

merci pour vous :id: .
@ "Ben314" je sais pas comment commencer la méthode que tu m'as suggérée :triste:
est-ce que tu peux encore m'aider :id:
merci.

[Ben314]

Si tu applique succésivement la propriété
.
.
.
Je te laisse chercher la suite, puis démontrer proprement le résultat à l'aide d'une récurrence

[Near]

Si tu applique succésivement la propriété
.
.
.
Je te laisse chercher la suite, puis démontrer proprement le résultat à l'aide d'une récurrence

hmm :hum: ,pour n=1,on a ce qui est vrai.
maintenant je suppose que la propriété est vrai au rang et je montre qui l'est au rang .
ce qui est vrai.
j'ai peut être pas répondu a ta question :triste: ,mais c'est tout ce que je peux faire. .
merci "Ben314" .

[Ben314]

n=1 =>

et on montre facilement (récurrence) que
Or tend vers 0 et est une constante (on se fiche de combien elle vaut...) donc...

[nodgim]

Juste en aparté pour la preuve de la croissance de la suite:
rac(2+rac(2+rac(2.... s'écrit de gauche à droite ou de droite à gauche.
Or, si on l'écrit de gauche à droite, on ajoute toujours, donc la suit croît.

[Near]

n=1 =>

et on montre facilement (récurrence) que
Or tend vers 0 et est une constante (on se fiche de combien elle vaut...) donc...

donc converge vers 2 :++: .
merci 100000 "Ben314" :id: :id:

[Near]

Juste en aparté pour la preuve de la croissance de la suite:
rac(2+rac(2+rac(2.... s'écrit de gauche à droite ou de droite à gauche.
Or, si on l'écrit de gauche à droite, on ajoute toujours, donc la suit croît.

merci "nodgim" :id: :id: .