Signe de f sur un voisinage de 0

[Jo757]

Demontrer la proposition suivante :

Si f continu en 0 avec f(0) > 0 alors f(x) > 0 sur un voisinage de 0.


Bon c'est pas compliquer en soit mais j'ai besoin d'etre sur de mon coup et ma démonstration me parait un peu courte:

Si f continu en 0 et f(0) > 0 , alors il existe un intervalle [0-h;0+h] , avec h réel positif, où f(x) > 0 , qui est un voisinage de 0.

Qu'en pensez vous ?

[Jo757]

Une autre facon de le dire :

Si f continu en 0 avec f(0) > 0 , alors f(x)> (1/2)f(0) pour tout x dans un certain voisinage de 0.

La 2eme me parait plus juste.

[arnaud32]

tu dois montrer ce que tu affirmes.

f continue en 0 ca veux dire que pour tout e>0 il existe h>0 tel |f(y)-f(0)|<e si
donc f(0)-e<f(y)<f(0)+e

maintenant a toi de choisir e.

[Jo757]

Pas trop capté ton truc arnaud :(.

J'ai essayé une autre approche :

F continu en 0 donc on a lim(x->0) f(x) = L , et L>0 car f(0)>0.
Donc il existe un voisinage U de 0 tel que f(x) appartient a V , V voisinage de L.
Donc f(x) > 0 au voisinage U de 0.
Ca me parait bien non ?

[arnaud32]

l'idee c'est que si f(0)>0 come f est continue en 0 si tu te raproches de 0 tu reste pres de f(0) donc dans les y>0 si tu veux l'ecrire avec rigueur, tu ecris la definition de la continuite en 0

f continue en 0 donc

fixons nous avons pour , donc

si on prend tu as

[Jo757]

J'ai l'impression qu'on a dit a peu près la meme chose en fait pour le coup, mais ta démonstration fait plus matheux c'est sur !

[arnaud32]

en effet le plus dure est souvent de mettre tes idees en formes avec rigueur, mais c'est ca une demonstration, ecrire rigoureusement un raisonnement

[Ben314]

Salut

F continu en 0 donc on a lim(x->0) f(x) = L , et L>0 car f(0)>0.
Donc il existe un voisinage U de 0 tel que f(x) appartient a V , V voisinage de L.
Donc f(x) > 0 au voisinage U de 0.
Ca me parait bien non ?

Là où ta preuve ne fait (franchement) pas "matheux", c'est qu'il semblerait que tu veuille utiliser la définition suivant des limites :
lim(x->0) f(x) = L lorsque, pour tout voisinage V de L, il existe un voisinage U de 0 tel que f(x) appartient a V lorsque x appartient à U.
Sauf que, je vois nulle part dans ta "preuve" quel est le voisinage V de L dont tu est parti...

En résumé, en temps que correcteur, j'entoure en rouge ton "appartient à V" et j'écrit : "qui est V ?"


Dans la preuve d'Arnaud, les choses sont claires : il part de V=]L-L/2 , L+L/2[

[Jo757]

Uep c'etait ca l'idée, utiliser la définition d'une limite.
Donc si je défini V comme étant [L-h,L+h], h réel positif, c'est "carré" cette fois ?

[Ben314]

Uep c'etait ca l'idée, utiliser la définition d'une limite.
Donc si je défini V comme étant [L-h,L+h], h réel positif, c'est "carré" cette fois ?

Quelle valeur prend tu pour h ?

[Jo757]

Ah ouai , bonne remarque.. Je peux poser n'importe quoi du moment que c'est petit devant f(0) non ? Donc du coup j'peux me ramener a ce que dis arnaud et prendre L/2 ?

[Ben314]

Oui,
Si tu veut conclure, il faut que :
1) h>0 pour que [L-h,+h] soit un voisinage de L.
2) L-h>0 pour que ton voisinage soit contenu dand R+* et ainsi prouver que f(x)>0 pour tout x de V.
Il faut donc prendre un h quelconque tel que 0Soit on écrit texto : "fixons un réel h tel que 00)"
Soit on en choisi 'pour de vrai' un et à peu prés tout le monde prend h=L/2 (si tu veut faire l'original, tu peut par exemple prendre h=racine(2)L/Pi...)

[Jo757]

Ok, la j'vois bien tout le déroulement du raisonnement et l'aboutissement, j'pourrai ressortir ca sans soucis, ce qui etait le but de la manoeuvre.
Merci bien pour votre aide !