Signe polynôme caractéristique

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit une matrice M de M3(Z) qui a trois valeurs propres 1, j et j^2.

Je calcule le polynôme caractéristique : en utilisant l'égalité et

Mais la correction donne :

Je comprends pas pourquoi j'obtiens pas le bon résultat

[capitaine nuggets]

Salut !

Ca dépend de ta définition du polynôme caractéristique : ou .

[mehdi-128]

Salut !

Ca dépend de ta définition du polynôme caractéristique : ou .

C'est det(A-XI) que j'ai calculé

[mehdi-128]

Par contre j'aimerais comprendre pourquoi :



La démo est facile ?

[capitaine nuggets]

Quel est le degré du polynôme caractéristique ? Pourquoi ?
Ensuite, on te dit que , et sont valeurs propres de donc que peux-tu dire de ces complexes par rapport au polynôme caractéristique ?

Après, il suffit de savoir que pour , où est un anneau commutatif :
- Si est pair alors ,
- Si est impair alors .

Ou de manière plus condensée .

[mehdi-128]

Quel est le degré du polynôme caractéristique ? Pourquoi ?
Ensuite, on te dit que , et sont valeurs propres de donc que peux-tu dire de ces complexes par rapport au polynôme caractéristique ?

Après, il suffit de savoir que pour , où est un anneau commutatif :
- Si est pair alors ,
- Si est impair alors .

Ou de manière plus condensée .

Le degré du polynôme caractéristique est 3 car dans le calcul du déterminant on fait toutes les combinaisons possibles avec les transpositions si alors on fait le produit des éléments de la diagonale.
donc


Les valeurs propres sont racines de tout polynôme annulateur or le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur donc le polynôme caractéristique peut se factoriser sous cette forme et c'est là que j'ai 2 choix :

ou

Comment savoir lequel est bon ?

[Lostounet]

Les valeurs propres sont racines de tout polynôme annulateur or le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur donc le polynôme caractéristique peut se factoriser sous cette forme et c'est là que j'ai 2 choix :

ou

Comment savoir lequel est bon ?

Ta question n'a pas de sens...

Certains ouvrages définissent le polynôme caractéristique comme det(M-XIn) et d'autres comme det(XIn-M). C'est un choix, une convention et... au signe près comme te l'indique Capitaine Nuggets, ces deux polynômes sont les mêmes.

Ce qui nous intéresse c'est les racines de ce polynôme caractéristique..et peu importe quelle définition tu prends, tu trouves les mêmes racines.