Sev stables

par **Anonyme** » 29 Avr 2007, 15:37

bonjour à tous. j'ai un devoir à faire pour la semaine prochaine et je bloque sur une partie, alors j'espère que quelqu'un pourra faire quelque chose ..

en gros l'énoncé c'est :
je note B = lambda (valeur propre) c'est plus simple

on suppose que sp(f)={B1...Bp} et EBi := Ker (f-Bi IE) , f est diagonalisable.
On nous demande de montrer que F sev inclus dans E est stable par f ssi il existe des sev G1, G2, .. , Gp de E tels que
pr tt i Gi inclus dans EBi
F= somme directe des Gi

donc il faut montrer la partie directe ( ->) et la réciproque (<-)
et pour la partie directe on a une indication qui dit qu'on peut utiliser le fait que f ' , endomorphisme de F sev inclus dans E induit par f diagonalisable, est également diagonalisable et que sp(f ') inclus ds sp(f)
on doit utiliser ce résultat pour montrer que E'Bi := Ker (f '-Bi IF) par définition est aussi égal à = EBi inter F pr tt Bi ds sp(f ')

cette intersection serait donc les Gi solutions du pb.
mais je vois pas comment le fait de prouver cette égalité peut nous aider à résoudre ce que l'on veut..je sais pas trop d'ou partir en fait..

voila j'espère que c'est assez clair et que quelqu'un pourra m'aider...

par **Anonyme** » 29 Avr 2007, 19:23

Rain' a écrit:Quand tu auras montré l'égalité tu poses Gi = E'Bi inclus dans EBi ça donne F = somme directe des E'Bi.

oui mais je vois pas comment le fait d'avoir montré précédemment que si f diagonalisable alors f ' aussi et que sp(f ') inclus ds sp (f) peut nous aider à montrer que E'Bi = EBi inter F ...

par **cyberchand** » 30 Avr 2007, 11:52

Bonjour!

pour montrer E'i = Ei inter F, il suffit de dire :
- si x est dans E'i, alors x est dans F par définition, et vérifie f'(x) = lambda_i x. Or f'(x) = f(x) pour x dans F, donc f(x) = lambda_i x, et x est dans Ei.
- de plus, E'i est dans F évidemment, donc on a une inclusion.
- Dans l'autre sens, si x est dans F et vérifie f(x) = lambda_i x, alors f'(x) = lambda_i x, et donc x est dans E'i.

Ensuite, il faut montrer que F = somme des E'i. C'est là qu'on utilise que f' est diagonalisable : l'espace de départ de f', F, est somme directe de ses ss espaces propres. Or, sp(f') est dans sp(f), donc les espaces propres de f' sont des E'i : il n'y en a pas d'autre! (mais il se peut que certains E'i ne soient pas espaces propres de f' : ce n'est pas grave).
F est somme directe de certains E'i = Ei inter F : c'est ce qu'on voulait...

par **Anonyme** » 01 Mai 2007, 14:19

merci beaucoup !! j'ai compris c'est bon, c'était pas si sorcier..
Par contre le prof nous a posé une autre question, il nous a demandé de démontrer que si un endo f possède n valeurs propres (n=dim E), alors il y 2^n sev stables pas f..
Il a dit que pour ça, on devait montrer qu'il existait une bijection entre :
[FONT=Comic Sans MS]F[/FONT] -> {0,1}*....*{0,1}
F -> dim G1 + dim G2 + ... + dim Gn

je voulais savoir si quelqu'un connaissait une autre méthode, parce que les bijections , ce n'est vraiment pas mon truc, ou si quelqu'un sait comment s'en sortir avec cette histoire de bijection...merci par avance !

par **cyberchand** » 01 Mai 2007, 19:01

Rain' a écrit:Tu peux montrer toujours qu'une somme quelconque d'espaces propres est un sev stable, réciproquement tu montres qu'un sev stable est une somme d'espaces propres et comme tu as n espaces propres tu peux faire 2^n sommes différentes.

Oui. Pour expliciter la bijection :

soit F un sev stable. Alors F se décompose en somme de Gi, i=1..n, avec Gi inclus dans la droite propre associée au ième vecteur propre. Donc à F, la bijection associe le n-uplet (dim G1, ..., dim Gn). Ce n-uplet est dans {0,1}^n, car les Gi sont de dimension 0 ou 1.
Réciproquement, soit (a1, ..., an) dans {0,1}^n. Alors pose F = somme des Gi, sur i tel que ai = 1. Il y a donc autant de termes dans la somme directe que de ai non nuls. Alors ce F est stable.
On a donc défini deux applications : une de l'ensemble des sev stables dans {0,1}^n, l'autre de {0,1}^n dans l'ensemble des sev stables. Il reste à vérifier que ces deux applications sont inverses l'une de l'autre, ce qui est relativement trivial...

par **Anonyme** » 01 Mai 2007, 19:56

merci beaucoup, t'es un patron :happy2: puisque t'as l'air de t'y entendre je vais encore te demander juste un petit truc..
Dans le tt premier exo , on devait montrer que l'endo de F f ' induit par f avec F sev stable de E par f , était diagonalisable (on savait que f l'était)
J'ai écrit :
le polynome minimal mf de f est un poly annulateur dc on a pr tt x appartient à f, mf(f)(x)=0
et en particulier pr tt x ds F mf(f)(x)=0
or on sait que pr tt x ds F mf(f) (x) = mf(f ') (x)=0
dc mf (f ')=0
le poly de f est 1 poly annulateur de f. Le poly minimal de f ' divise le poly minimal de f . Or l'endo f étant diagonalisable, son poly minimal est scindé ds K et n'a que des racines simples. Il en est dc de mm pr le poly minimal de f ' et dc f ' est un endo de F diagonalisable.

Est-ce que c'est juste d'écrire ça et est-ce que ça suffit ? merci de la réponse..

par **cyberchand** » 01 Mai 2007, 20:22

C'est parfait! :happy2:

par **Anonyme** » 02 Mai 2007, 19:55

merci d'avoir pris le temps de me répondre..je suis enfin arrivé au bout de ce devoir, merci de m'avoir aidé à ts les deux...mon oral est demain, je stresse... j'espère que ça se passera bien..

par **cyberchand** » 04 Mai 2007, 20:24

**~~vaness~~** a écrit:merci d'avoir pris le temps de me répondre..je suis enfin arrivé au bout de ce devoir, merci de m'avoir aidé à ts les deux...mon oral est demain, je stresse... j'espère que ça se passera bien..

Alors? :happy2:

Sev stables

sev stables

Qui est en ligne