Séries (vocabulaire et théorème)

[MC91]

Bonjour,

Je revois en ce moment le chapitre sur les séries.
Il me semblait que la série de terme général Un était la même chose que la suite des sommes partielles , mais je viens de lire que la série serait en fait la limite de la suite des sommes partielles.... Quelle est la bonne définition?

Autre chose, dans le cours on ne parle pratiquement que de suites à termes positifs (par exemple dans le théorème de comparaison des suites, les équivalents de suites pour en déduire la nature de la série), pourquoi cela??

Merci de votre aide.

[Skullkid]

Bonsoir, la bonne option est de définir une série comme la suite de ses sommes partielles (on trouve aussi parfois une définition qui dit qu'une série est le couple formé par la suite des termes généraux et la suite des sommes partielles, mais elle est équivalente). La limite des sommes partielles s'appelle la somme de la série. Il serait réducteur de définir une série comme étant sa somme, puisqu'alors on ne pourrait pas parler de séries divergentes et que deux séries de même somme seraient définies comme identiques.

Pour ce qui est des termes positifs, c'est parce qu'il y a des théorèmes qui ne fonctionnent généralement que sur ces séries-là (en fait ils fonctionnent sur toutes les séries dont le terme général est de signe constant à partir d'un certain rang), notamment les théorèmes de sommation des équivalents et autres relations de comparaison. Si tu lis la démonstration de ces théorèmes, tu dois voir qu'à un moment on utilise l'hypothèse en question (par exemple pour dire que la suite des sommes partielles est croissante).

[MC91]

Bonsoir, la bonne option est de définir une série comme la suite de ses sommes partielles (on trouve aussi parfois une définition qui dit qu'une série est le couple formé par la suite des termes généraux et la suite des sommes partielles, mais elle est équivalente). La limite des sommes partielles s'appelle la somme de la série. Il serait réducteur de définir une série comme étant sa somme, puisqu'alors on ne pourrait pas parler de séries divergentes et que deux séries de même somme seraient définies comme identiques.

Pour ce qui est des termes positifs, c'est parce qu'il y a des théorèmes qui ne fonctionnent généralement que sur ces séries-là (en fait ils fonctionnent sur toutes les séries dont le terme général est de signe constant à partir d'un certain rang), notamment les théorèmes de sommation des équivalents et autres relations de comparaison. Si tu lis la démonstration de ces théorèmes, tu dois voir qu'à un moment on utilise l'hypothèse en question (par exemple pour dire que la suite des sommes partielles est croissante).

Merci pour cette réponse.