Séries

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Rebonsoir,voila je suis tombé sur cet exercice qui me laisse complètement muet.....

La série pour n>=1 de Min(sin(n)/n ,cos(n)/n) est-elle convergente?
J'étais tenté d'utiliser:Min(x,y)=(x+y)/2-abs(x-y)/2
ou abs désigne la valeur absolue.
Merci.....

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

En fait j'ai d'abord calculé:
Min(sin(n)/n,cos(n)/n)=sin(n)/(2n)+cos(n)/(2n)-abs[cos(n)-sin(n)]/(2n)
Et les séries de termes généraux sin(n)/(2n) et cos(n)/(2n) divergent ,ainsi dois-je étudier la série de terme général abs[cos(n)-sin(n)]/(2n).....
Est ce que ce raisonnement vous semblent pertinent ??Merci....

[fahr451]

non


la série sin n /(2n) converge

le problème est la NON convergence absolue pour le min

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

la série sin n /(2n) converge

Comment le démontre t-on?

[fahr451]

pas si simple

on montre que la série est de cauchy
on utilise la transformation d'abel l'idée est de poser


Sn = sin 1 + ....+sin n

on a sin n = S n - S (n-1)


et on transforme sigma n = p , ...,q sin n / n = sigma [Sn - S(n-1) ]/n

par changement d'indices pour se ramener à un sigma de

Sn ( 1/n - 1/(n+1) )

et ensuite on utilise deux choses

1 Sn bornée (la calculer)
2 1/n décroit et tend vers 0

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Ah ok merci,je vais faire le calcul de Sn.

[fahr451]

la transformation d'abel est une technique fine pour les suites qui correspond à une chose banale pour les fonctions de la variable réelle ...
l 'intégration par parties

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

J'obtiens une expression non simple pour Sn:

Sn=Im([(-2.i)/(1-exp(i))].sin([n+1]/2).exp(i.(n+1) /2) )

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Mon expression simplifiée pour Sn est :

Sn=-2.sin([n+1]/2).[ cos(1).cos([n+1]/2)+sin(1).sin([n+1]/2) ]

Le calcul de Sn mène t-il a quelque chose qui ressemble a mon expression?? :hum: :hum:

[fahr451]

exp i +exp (2i)+...+ exp (in) = [1- exp (i(n+1))]/[ 1- exp i]

puis factoriser en haut par exp (i(n+1)/2) en bas par exp (i/2)

puis euler puis partie imaginaire il reste
en bas sin (1/2) le umérateur est borné et Sn aussi .

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Ah ok merci ,c'est ce que j'avais fais en gros.

[B_J]

la série sin n /(2n) converge

Comment le démontre t-on?

Salut ;
avec le critere d'Abel c'est plus simple non ?

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Ensuite,je me suis intéressé a :abs[cos(n)-sin(n)]/(2n) (abs=valeur absolue)

abs(cos(n)-sin(n))>=N[abs(cos(n)-abs(sin(n)]>=abs(cos(2n))/2

Or: abs(cos(2n))>=cos(2n)^2=[1+cos(4.n]/2=1/2+abs(cos(4n))/2

Or la série de terme général abs(cos(2n))/2 diverge .
On peut donc conclure que la série donnée, bien que son tg soit le minimun des tg de 2 séries convergentes est divergente vers +
infini.
Mon raisonnement est-il correct?merci...

[fahr451]

Salut ;
avec le critere d'Abel c'est plus simple non ?

hum hum

le critère d 'abel repose précisément sur la transformation d 'abel ...

ckèckgdizè

[B_J]

Oui fahr
donc pas besoin de le redemontrer a chaque fois ( si on le connais bien sur ;))

[fahr451]

Oui fahr
donc pas besoin de le redemontrer a chaque fois ( si on le connais bien sur )

il semble acquis que tel n 'était pas le cas ...

[fahr451]

body

le raisonnement est correct

min ( ) = série convergente + série divergente donc diverge

cependant je ne suis pas les détails de calcul avec la valeur absolue

de plus sais tu montrer que la série l cos n l / n diverge ?

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

sais tu montrer que la série l cos n l / n diverge ?

Non ,j'aimerai bien savoir......

[fahr451]

l co s n l / n >= cos^2 n / n = (1 + cos 2 n )/(2n)
= 1/(2n) + cos 2n /(2n) la première série diverge la deuxième converge donc la somme des deux diverge et le résultat par comparaison.

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Ah d'accord merci .