Séries - oral de centrale

[Charmander]

Bonjour,

Je dois faire en dm un sujet d'oral de centrale.
Soit la suite définie par :




J'ai réussi à montrer que pour tout , on a :


La série du deuxième terme est convergente. J'ai fait l'étude de la suite dans le cas où le deuxième terme ne tend pas vers 0.
On suppose maintenant qu'il tend vers 0. Je dois étudier le comportement asymptotique de la suite u, et trouver un équivalent de lnu puis de u.
Je ne sais pas comment m'y prendre pour le comportement asymptotique, tout ce que l'on sait c'est que mais ce n'est pas suffisant...
Quelqu'un pourrait m'aider ? Merci !

[Ben314]

Salut,
Dans le cas où le terme de droite de ton égalité tend vers 0, tu as plus que fortement intérêt à écrire la somme "à l'envers", c'est à dire à dire que.

Ce qui donne et l'hypothèse signifie que la constante est nulle et donc que

Ensuite, perso, je pense que j'écrirais que et j'utiliserais un encadrement pour approximer cette somme. (à voir...)

[Ben314]

Effectivement, en écrivant que
et en utilisant le fait que il vient que :

c'est à dire

[Charmander]

Bonjour

Merci beaucoup pour votre réponse ! Dsl pour le retard, j'avais complètement zappé...
Juste une chose, comment vous trouvez le 1/8n ?

[Charmander]

Car normalement, tend vers donc ici vers 2 non ?

[Ben314]

pour tout réel .
En dérivant, il vient et, en multipliant par x,
Si on prend ça donne effectivement et pas 1/8 (faut dire que moi et le calcul... ça fait 2....)

Et si tu ne sait pas qu'on peut dériver terme à terme des séries, tu fait la même chose en partant de pour tout et tu fait tendre n vers l'infini à la fin (plus chiant à écrire...)

[deltab]

Bonjour.

Pour avoir la valeur de (si elle existe) pour laquelle , il suffit de résoudre l'équation .