Salut,
pour la 1), je comprends pas trop ce que tu fais. Tu as l'air de connaître le résultat sur les séries alternées mais tu te compliques la vie pour rien.
Une série est alternée si son terme général est de la forme
où
est une suite de signe constant.
Ici, c'est visiblement le cas pour la série
où le terme général est la forme
avec
définie pour tout
par
(positive).
Cette suite tend vers 0 en décroissant donc d'après le théorème des séries alternées, la série
est convergente.
Ensuite, il y a une grosse bêtise quand tu écris que
car tu sembles croire que |a+b|=|a|+|b|.
De plus, ce n'est pas parce que
que l'on peut conclure que les suites
et
sont équivalentes en
Il faut une égalité sans valeur absolue. Exemple simple : les suites
et
.
Ensuite, le fait que
(pour des suites telles qu'un nombre fini de terme est nul) ne permet pas "d'admettre" que
est à peu près égal à
pour n grand (comme tu l'écris) mais c'est une des définitions (bien carrée) de
équivalent à
.
Sinon, ici, on peut dire que pour tout
, on a
, ce qui devrait permettre de conclure.
Sinon, la dernière phrase est archi fausse car le théorème que tu sembles utiliser ne marche que si les suites sont positives. Ce qui n'est pas le cas ici et c'est justement ceci que l'exercice souhaite mettre en valeur.
Du coup, il faut réfléchir à la nature de la série
(par exemple, tu sais que la somme d'une suite convergente avec une suite divergente donne une suite divergente donc adapte pour les séries).
Pseudo modifié : anciennement Trident2.