kazeriahm a écrit:salut
la tu as donc u_n+1/u_n=[((n+1)/n)^n]/2
peux tu trouver la limite de u_n+1/u_n avec ce que t'as dit fahr et conclure quand à ton énoncé ?
ben la serie est divergente.
je suis entrain de plancher sur un exercice et je bloque à certaines questions.
.... Exercice ....
On pose
un= (-1)^n/ (n!)^1/n
vn = 1 / (n!)^1/n
xn= ln(n!) * 1/n
1) Montrer que pour tout n>= 1 on a ln(n!)* 1/n =1 , on a x(n+1 ) - x(n) >=0
4) Montrer que la suite vn est de croissante
5) Montrer que x(n) -> + oo quand n -> +oo
6) Deduire de ce qui precede que la serie Sum un converge
7) La serie Sum un est absolument convergente ? Semi convergente?
....
1) je vois pas comment faire, j'ai pensé à la récurrence mais j'ai l'impression que c'est une mauvaise piste
2) vn = 1/ (n!)^1/n
la suite est à termes positifs, donc on peut utiliser le theoreme de comparaison et celui de Riemann
vn = 0
Or tout ces termes sont positifs
donc on a bien x(n+1) - x(n) >=0
4) vn= 1/ (n!)^1/n
Pour montrer que la suite est decroissante je calcule
V(n+1) / v(n) = n!^n / (n+1)!^(n+1)
= n!^n / ((n+1)!^n * 1/(n+1)!)
= 1/ (n+1)^n * 1/(n+1)! + oo ????
6) LA serie vn etait de la forme de Serie de Riemann et divergente de plus elle etait decroissante.
Or un etant une serie alternée donc le Critere de Riemann permet de conclure en disant que la serie est convergente (car 1/n > 0)
7) La serie est semi convergente car vn etait divergente.
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Merci à ceux qui auront la gentillesse de me corriger et de me guider pour les questions auxquelles je n'ai pu trouver de reponses. :++: