Séries de Fourrier

[aurk]

Bonjour,

j'ai un exercice sur les séries de Fourrier que j'ai essayer de faire mais où je n'ai pas tout réussi. Je vous met ce que j'ai fait et ce que je n'ai pas réussi, pouvez-vous me dire si c'est correct et m'aider pour le reste s'il vous plaît?

Il faut écrire le développement en série de Fourrier des fonctions, étudier la convergence de ce développement puis en déduire les sommes de certaines séries.

Pour la convergence, je n'ai pas trop d'idées, dois-je utiliser Abel comme pour les séries?


1)Soit f la fonction 2pi-périodique, paire, définie sur R par f(x) = x si x appartient à [0,pi].

J'ai trouvé le développement en série de Fourrier suivant: pi/2 + somme(de n=1 à +infini) de -4cos ((2n+1)x)/(pi(2n+1)²)

J'ai trouvé que la somme de n=1 à +infini de 1/(2n+1)² = pi²/8
et de 1/(2n+1)^4 = pi^4/24
Apparement, mon deuxième résultat est faux, je devrais trouver pi^4/96 mais je ne trouve pas mon erreur ( cf Pièce Jointe 1ère partie)

Je n'ai pas réussi à trouver comment en déduire la somme de 1/n² et 1/n^4

2)Soit f 2pi-périodique, paire, définie sur R par f(x) = x² si x appartient à [0,pi]

développement en série de Fourrier: pi²/3 + somme(n=1 à +infini) de 4*cos(nx)*(-1)^n/n²

somme de n=1 à +infini de (-1)^n/n² = -pi²/12 , de 1/n² = pi²/6
Pour la somme 1/n^4 je trouve pi^4/40 mais ce n'est apparement pas la bonne réponse qui serait en fait
pi^4/90n je n'ai pas trouvé mon erreur non plus (cf Pièce Jointe 2ème partie)


3) Soit f la fonction 2pi-périodique, impaire, définie sur R par f(x) = x (pi-x) si x appartient à [0,pi]

Vu que je dois en déduire des somme en (-1)^n/(2n+1)^3 et d'autres en 1/n^6, je pense qu'il me faut un terme en 1/n^3 dans mon développement en série de Fourrier mais je ne l'ai pas car j'obtient pour bn(f) : -2pi*(-1)^n/n + 2/(pi n^3) * (cos (npi)-cos (npi)).

Est-ce une erreur de ma part sur un signe je suppose mais je n'arrive pas à trouver où ou est-ce correct?

Voilà, merci d'avance

J'espère que vous arriverez à comprendre.

Je comptais mettre des pièces jointes mais je ne trouve pas comment les mettre, peut-on en mettre où est-ce impossible?

[Antho07]

J'ai pas tout lu mais

si tu as la somme des 1/(2n+1)²

On cherche la somme des 1/n²

alors



(on coupe la somme en 2, les paires + les impaires)

mais maintenant on peut sortir 1/4 dans une somme a droite et exprimer alors




pour les ^4, cela doit etre du parseval

[aurk]

Merci pour cette réponse si rapide!

je n'avais pas penser à séparer la somme en deux, j'ai encore un peu de mal avec cette méthode.

Pour les 1/n^4, en effet, pour les autres questions, j'ai utilisé Parseval mais je ne trouve pas toujours les bons résultats,

Savez-vous comment mettre des pièces jointes? Ainsi, je pourrais mettre ce que j'ai fait.

[Antho07]

je v me coucher, désolé.
pour les pieces jointes je sais pas mais les images on fait comme ça

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=7158

[Antho07]

dans Parseval tu as oublié le

Egalité de Parseval



ici les bn sont nuls mais pas le a0

[aurk]

Bonjour, bonne année

je n'ai pas pu répondre avant, je n'étais pas chez moi pendant les vacances.

En effet je crois bien que j'ai oublié le ao² dans Parseval. Je vais regarder cela aujourd'hui. Merci