Series de fonctions et Reste

par **fidelcastro** » 10 Juin 2006, 19:04

Je m'entraine sur quelques planches d oraux et je bloque sur une de ces questions :

j ai une serie de fonction avec un(x) = anx^n*(1-x)
avec an decroissante et positive
ici x appartient a [0,1]

on pose vn= sup l Rn(x) l avec Rn le reste d ordre n

on me demande de montrer que si lim an =0 alors (vn) converge vers 0

Peut etre pourriez vous m aidez sachant qu il faut surement majorer cette expression je vous remercie

par **yos** » 10 Juin 2006, 19:10

On montre la double-inclusion. De gauche à droite c'est évident (et toujours vrai sans hypothèses particulières sur f et g). De droite à gauche, on utilise l'égalité fgf=f : c'est presque immédiat.

par **mathelot** » 10 Juin 2006, 19:55

Le but de l'exercice est de montrer que la suite de fonctions

tend ponctuellement vers la fonction nulle.

.
Pour x fixé

, on a la majoration suivante:

, la suite

étant positive , décroissante et le dernier facteur
est le reste d'une série géométrique convergente.

par **fidelcastro** » 10 Juin 2006, 20:07

On me demande ensuite d'etudier la reciproque , ne faudrait t il pas raisonner par l absurde en posant que lim an different de zero?

par **mathelot** » 10 Juin 2006, 20:39

et puis finalement, comme Rn est une suite de fonctions continues
qui tend vers zero simplement en décroissant sur le compact [0;1],
elle tend uniformément vers zéro (Dini).

par **yos** » 10 Juin 2006, 20:50

J'avais pourtant posté mon précédent message sur un autre fil!
Sur celui-ci, c'est amusant aussi remarquez.

par **mathelot** » 10 Juin 2006, 20:59

oui, c'est incroyable, votre réponse s'appliquait à deux questions distinctes ?

par **mathelot** » 10 Juin 2006, 21:23

si

tend uniformémemnt vers la fonction nulle sur [0;1]
alors la série converge uniformément sur [0;1] vers sa limite et en particulier
pour la valeur x=1/2.
D'où

et donc

par **fidelcastro** » 10 Juin 2006, 21:45

Pourquoi la serie converge particulierement pour x =1/2?

par **mathelot** » 10 Juin 2006, 23:00

La réciproque peut se montrer par l'absurde:

étant positive,décroissante est convergente.
supposons sa limite

.
alors:

en faisant tendre x vers 1,

d'où une contradiction si l > 0.

par **fidelcastro** » 11 Juin 2006, 09:38

D'accord c'est sympa je vous remercie de votre aide

par **fidelcastro** » 11 Juin 2006, 09:46

Ce que je voudrais savoir c'est quand est ce qu'intervient l'hypothese que vn converge vers 0?

par **mathelot** » 11 Juin 2006, 10:20

Dans la réciproque, on traduit l'hypothèse:

par:

puisque

est une suite de fonctions positives tendant
uniformément vers zéro quand n tend vers l'infini.

par **fidelcastro** » 11 Juin 2006, 10:45

Donc dans le message 10 ne serait ce pas plutot Rn(x) que Vn(x)?

par **mathelot** » 11 Juin 2006, 11:06

oui, tout à fait exact. et de plus, c'est l'intervalle semi-ouvert

car la somme

n'est pas définie pour x=1

par **fidelcastro** » 11 Juin 2006, 11:18

Et comment fait-on pour passer de l'inegalité du message 13 a l 'inegalité du message 10?

par **mathelot** » 11 Juin 2006, 11:29

on minore chaque terme

par

à partir du rang

puisque l est la limite de la suite de terme général

Series de fonctions et Reste

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