Séries : S(u) et S(v) convergent, quid S(uv) ?

[nathanap]

Bonjour,
Voici un exercice sur les séries qui ne semble pas classé parmi les exercices difficiles de mon cours et que je n'arrive pas à faire (honte à moi) :
On considère deux suites complexes u et v. On suppose que les séries S(u) et S(v) de termes généraux u et v convergent, que dire de la suite de terme général u*v ?

Je n'arrive à une solution que quand les deux suites sont réelles positives ... Alors S(u*v) converge : dans ce cas la suite (S(u)S(v)) est supérieure à S(u*v) pour tout n puisqu'on retrouve les termes de la somme S(u*v) dans le produit S(u)S(v) et comme S(u)S(v) converge et que S(u*v) est croissante c'est bon .. Mais bon c'est pas génial comme résultat ...

[girdav]

On ne peut pas toujours conclure la convergence. Par exemple, avec les séries de terme général et convergent, mais .

[nathanap]

Merci ! En effet j'ai bêtement cru qu'il fallait chercher à prouver qu'elle convergeait au lieu de chercher un contre exemple ...

[Dihtbscii]

Non mais il ne faut pas confondre la suite uv et la série. Pour la suite uv il y a bien un résultat évident; la suite converge vers 0. Pour la série il n'y a rien à dire.

[Nightmare]

Salut,

on a convergence de la série produit par exemple lorsque les deux séries sont absolument convergente. Sinon, dans le cas général, on ne peut rien dire, comme le démontre si bien Girdav.

[girdav]

Cependant, si les séries de terme général et convergent alors par l'inégalité on déduit l'absolue convergence la série de terme général .
Mais ceci est une condition suffisante, et non nécessaire.

[dibeteriou]

Bonjour à tous :)
Il suffit en fait de S(u) absolument convergente et v bornée pour avoir la convergence absolue de S(uv).

[girdav]

Si la série des ou celle des converge absolument alors on peut déduire que la série de terme général converge absolument (puisque par exemple si , on a par les hypothèses initiales que donc la suite est bornée par exemple par donc ).