Serie de terme general

[sexandsun]

Bonjour

voila j'ai un dm a faire pour al rentrée et il y a des questions que je n'arrive pas à resoudre

Enoncé
On considere que Un>0 pour tout n
1/Montrer que si la serie (Sn)= (somme des Uk de k=0 jusqu'a n )de terme general Un converge alors lim Un=0
n tend + infini
Montrer que la reciproque est fausse


On considere que Un>0 pour tout n
2/a/ On suppose qu'il existe k apartenant a ]1;+infini[ tel que
quelquesoit n apartenant a IN U(n+1)/Un >=k (2)

Montrer que la serie de terme general Un diverge
(on admet le resultat si (2) est verifier a partir du rang n0)

b/ Montrer que si lim U(n+1)/Un = l avec l apartenant ]1; +infini[alors
n tend +infini
la serie de terme general Un diverge.

Pour la 2/ J'ai montrer que la suite Un etait croissante ,quelle est positive donc la serie de terme general Un est positive et croissante.

Mais je n'arrive pas a faire les 2questions pouvez vs m'aider?

merci d'avance et bonnes fetes.
sexandsun69

[Shinji666]

pour la question 1 la réciproque elle est fausse : tu peut prendre comme exemple le terme général Un=1/n Un tend vers 0 qd n tend vers l'infini et la série de terme général 1/n diverge, c'est une série de Riemann

[sexandsun]

merci pour la reciproque
qqun peut il repondre a ma euxieme question svp!

[yos]

2)a) Un>U0k^n (par récurrence) et U0k^n suite géométrique de limite +oo.

b) On se ramène au cas a) à partir d'un certain rang :Il existe un rang No à partir duquel Un>(l+1)/2 (que je note k)
Par récurrence on a cette fois pour n>NoUn>UNo k^(n-No) et on conclue comme au a).