Série de terme général z^n (spé)

[Nesta]

Bonsoir,

Un résultat à connaître est que la série géométrique de terme général z^n (z étant un complexe) est convergente ssi |z|<1 pourquoi?
En calculant sa somme partielle on trouve (1-z^(n+1)) / (1 - z)
qu'est ce que cela prouve? J'aimerais une démonstration détaillée svp :)

[Nightmare]

Salut,

eh bien, la somme partielle converge donc si et ssi |z| < 1, non?

[MacManus]

Bonsoir

Et bien parce que quand , si |z| > 1, et dans ce cas la série est divergente

[Nesta]

oui mais le rapport avec le module?

[Nightmare]

Quel rapport avec le module? On cherche une condition sur z complexe pour que la série de tg z^n converge, la réponse est la condition |z|<1 . Donc par exemple, la série de terme général (1/2 + 1/2 i)^n est convergente.

[Nesta]

Oui mais comment on arrive t-on là?
C'est sans doute trivial, mais je ne vois pas..

[charif]

bs


pour qu'une série soit convergente il faut que sa somme soit finie c'est-à-dire que somme(0 à l'infinie) de Z^n est finie alors pour calculer cette somme il faut passer d'abord par la somme partielle .... et en revanche cette somme serait fini si le module est inférieur strictement à 1 ..et cette somme serait 1/(1-Z) qui est finie (Z^n+1 tend vers 0 car le module de Z est inferieur strictement à 1)

[Nesta]

(Z^n+1 tend vers 0 car le module de Z est inferieur strictement à 1)

pq?
:girl2:

[charif]

bs

le module de z^n+1 est inférieur au module de z le tout à la puissance n+1

qui tend vers 0 qand n tend vers l'infinie ( je crois c'est un résulat de terminal une canstante dont le module inférieur strictement à 1 à la puissance n tend vers 0 qand n tend vers l'infinie)

[girdav]

Apparemment le seul truc qui pose problème à Nesta est la fait que si alors la suite converge vers 0.
On peut écrire si est non nul que et comme on voit que ce qu'il y a dans l'exponentielle tend vers .

Comme l'étude des séries est l'étude de suites particulières, il faut être au point sur tout ce qui est les suites classiques.

[charif]

bj

inférieur strictement à 1

[girdav]

bj

inférieur strictement à 1

Oui, je n'étais pas encore tout à fait bien réveillé.

[mathelot]

Bj,

écrire le critère de Cauchy en majorant le module
de la somme par la somme des modules, cette dernière vérifiant
un critère de Cauchy d'une suite géométrique réelle
à termes positifs si q=|z|<1