Série de Taylor

[DioAlex]

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice de maths dont l'énoncé est le suivant , après plusieurs recherches sur les séries de Taylor je ne parviens pas à comprendre leur fonctionnement. Ici, je ne comprends pas ce qu'on veut dire par "évaluer la racine carrée de 3" et c'est ce qui me pose problème.
Je vous remercie pour votre attention et j'espère que vous pourrez m'aider

[GaBuZoMeu]

L'énoncé est assez farfelu. Pourquoi autour de et pourquoi pas autour de 0 (avec et ) ???
Moi je partirais de et de .

[tournesol]

On peut aussi poser puis calculer , , et enfin
En déduire f(4)=2 , , et enfin
Approximer par la série de taylor en 4 :

[anthony_unac]

Salut en reprenant l'idée de tournesol, tu peux choisir de travailler avec ce qui permet de ne pas se fouler pour le calcul de f(1), f'(1), f''(1) etc ...

[tournesol]

Surtout pas car les puissances de 2 grèvent la précision .A l'ordre 3 , on obtient :
. No comment .

[GaBuZoMeu]

Hum hum, faire n'est pas trop top pour assurer la convergence du développement en série de :

Code: Tout sélectionner

h=var('h')
T=sqrt(1+h).series(h==0,10)
print T.subs(h=2).n(15)
Tbis=sqrt(1+h).series(h==0,11)
print Tbis.subs(h=2).n(15)

Réponse :
5.234
-4.262

Magnifiques approximations de la racine carrée de 2, n'est-ce pas ?

[anthony_unac]

Mince, j'ai commis une erreur sur le choix de h. Quelle est la valeur optimal de h pour assurer la convergence ? Que signifie n(15) dans ton code ?

[tournesol]

x=3 et h=0 .

[anthony_unac]

Et en prenant h=-1, ça ne part pas dans les choux ? Pourtant c'est éloigné de h=0

[GaBuZoMeu]

Moi je partirais de et de .

Pour , on est à l'aise avec !

[Skullkid]

Bonjour,

Pour te donner un peu plus de détails, anthony_unac, si tu cherches à approcher en tronquant la série de Taylor en , tu es certain d'aller dans le mur si (la série diverge). Si , la série converge et ton approximation sera d'autant plus efficace que est petit devant . Ici la réponse attendue est très probablement et , mais un élève facétieux pourrait par exemple choisir et .

[anthony_unac]

Merci Skullkid pour ce complément d'info. Le dernier exemple que tu donnes est particulièrement astucieux et j'imagine que la "vitesse de convergence" de ce dernier n'en est que meilleur.

[tournesol]

Joli Skullkid .Il fallait penser aux rationnels .

[tournesol]

Skullkid , c'est plus que joli .
Avec ta methode , la precision a l'ordre 1 est meilleure que la precision a l'ordre 3 avec -1 .
On peut generaliser a l'ordre 1 en utilisant , n etant tel que est un carre .
par exemple pour n=26 , la précision est de
Et en plus le procédé fourni des approximations rationnelles simples de

[DioAlex]

Merci beaucoup pour vos réponses, je dois avouer que nous n'avons pas pour habitude d'utiliser h avec les séries de Taylor mais bien x et x0. Nous avons depuis reçu les réponses de l'exercice qui étaient x = 4 et x0 = 2, j'ai alors essayé de trouver comment arriver à la valeur x0 = 2 mais je n'ai pas encore vraiment compris le procédé.

[Skullkid]

Si tes notations et correspondent à la série de Taylor alors ça ne va pas : prendre et donne une série divergente, la même que celle évaluée par tournesol et GaBuZoMeu vers le début du thread.

[DioAlex]

C'est bien à cette série de Taylor que le x et x0 correspondent, et les valeurs x = 4 et x0 = 2 sont les valeurs réponse de l'exercice.
Ce que je ne comprends pas vraiment dans ce thème des séries de Taylor c'est, comment fait-on pour trouver le x0 le plus adéquat pour approximer une valeur de la fonction ? C'est vraiment une notion qui reste floue pour moi.

[GaBuZoMeu]

Tu n'as visiblement pas compris le corrigé donné. Si tu veux de l'aide, il faudrait transcrire des choses plus précises sur ce qui t'a été dit.