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par **ludo56** » 07 Sep 2009, 08:46

Bonjour,

On demande la domaine de définition de la fonction zéta réelle de Riemman : j'en déduis ]1;+inf[... est-ce correct ?

Je dois MQ la série converge normalement sur [a;+inf[, a>0 : je n'arrive pas à majorer

par une série numérique convergente...

Merci bcp de votre aide !

par **ludo56** » 07 Sep 2009, 08:50

Edit : autant pour moi, a>1, d'où une la majoration par 1/n^a... Quelqu'un peut-il confirmer pr le domaine de définition ?

Merci !

par **ludo56** » 07 Sep 2009, 09:06

J'en déduis la continuité sur ]1;+inf[ : je ne vois pas comment déduire que la limite à l'infini est 1...

Merci !

par **jeje56** » 07 Sep 2009, 11:04

Personne ? Lol, j'ai l'impression de faire un monologue... On a aussi montré la stricte décroissance de zéta sur son domaine de définition...

Merci !

par **Narhm** » 07 Sep 2009, 11:27

Bonjour,

Ok pour le domaine de définition.

Ensuite c'est une simple application du théoreme du cours qui parle d'échange de limite/série de fonction.

Si on appelle

.
Grâce à la convergence uniforme des fn sur les intervalles [a,+inf[ a>1, et parce qu'ils admettent une limite finie en

, par théoreme tu sais que

.

Mais que vaut

?

par **jeje56** » 07 Sep 2009, 12:06

0 non ?...

par **Nightmare** » 07 Sep 2009, 12:14

C'est bien ça :lol3:

par **Nightmare** » 07 Sep 2009, 12:16

C'est bien ça, sauf pour n=1 !

par **jeje56** » 07 Sep 2009, 12:17

C'est plutôt la convergence uniforme de la série

qui donne le th non ?...
Je connaissais le théorème d'interversion intégrale-limite mais pas celui là...

Merci !

par **kazeriahm** » 07 Sep 2009, 12:17

sauf si n= ?

par **jeje56** » 07 Sep 2009, 12:18

Nightmare a écrit:C'est bien ça, sauf pour n=1 !

Pour n=1, la limite est 1... d'où la limite de zéta égale à 1...

par **kazeriahm** » 07 Sep 2009, 12:18

bah tu peux regarder la suite des sommes partielles comme une suite de fonctions qui converge donc uniformement sur tout les [a,infini[, a>1, et appliquer le theoreme d'interversion des limites

par **Nightmare** » 07 Sep 2009, 12:18

La convergence normale donne en particulier la convergence uniforme !

D'ailleurs question, est-ce que ta série est uniformément convergente sur ]1,+oo[ ?

par **jeje56** » 07 Sep 2009, 12:21

Nightmare a écrit:La convergence normale donne en particulier la convergence uniforme !

D'ailleurs question, est-ce que ta série est uniformément convergente sur ]1,+oo[ ?

Oui d'après ce que tu dis non ?

par **Nightmare** » 07 Sep 2009, 12:22

Attention, on a jamais dit que la convergence était normale sur ]1,+oo[ ! tu as même prouvé le contraire ! Par contre elle l'est sur toute demi-droite strictement incluse dans ]1,+oo[.

par **jeje56** » 07 Sep 2009, 12:37

Pourtant on déduit la continuité sur ]1,+inf[ de la convergence normale non ?

par **Nightmare** » 07 Sep 2009, 12:42

La convergence normale sur toute demi droite ]a,+oo[ !

par **jeje56** » 07 Sep 2009, 16:04

Ca marche :-)

Je dois MQ zéta(s) équivalent à 1/(s-1) en 1 puis en déduire la limite en 1...

Je ne vois pas...
On a montré la stricte décroissance de zéta à la question d'avant...

Merci !

par **Nightmare** » 07 Sep 2009, 16:22

Resalut !

Une petite comparaison série intégrale :

est bornée. Conclus !

par **jeje56** » 07 Sep 2009, 16:31

J'avoue que je ne vois pas du tout... J'ai montré que la nature de la série et de l'intégrale est la même...

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