Série

[Impiger]

Bonsoir, j'ai un bête problème sur des séries, je n'arrive pas à les encadrer par intégrales et pourtant c'est ce qu'il faut faire.

Cn = Re ( i ^(n+1))

On veut calculer S(Cn) = somme (de n=1 à +inf) ( Cn/n )
et il est rappelé que quel que soit K l'intégrale de 0 à 1 de t^k = 1/(k+1)

Pourriez-vous m'éclaircir car je n'arrive pas à obtenir le bon encadrement de départ.
Il me semblait pourtant que pour trouver une somme il était plus simple de trouver des séries télescopiques que de calculer une intégrale non ?
Est-ce que ça veut dire que ici il va y avoir des chances que ça tende vers 0 ?

[Le_chat]

Salut. Tu dis que cn est nul pour n pair, et si n=2p+1, cn=(-1)^p+1.

Tu peux donc déjà écrire ta somme différemment, en supprimant les termes pairs.

Ensuite, tu dis que 1/2p+1=integrale de t^2p (cf indication), et en permutant (permutation licite, mais il faut le prouver), tu obtiens ta somme comme l'inttegrale d'une serie géometrique de raison (-t^2), ce que tu sais calculer.

[Impiger]

Je suis d'accord avec avec toi tout du long, mais je n'arrive pas à voir comment se débarrasser du
(-1)^(p+1) et le faire passer dans la puissance du t en -t^2. Puisque, il me semble, le moins dépend de la parité de p, non ?

Est-ce qu'il faut encore décomposer la somme en termes pairs et impairs ?

[Le_chat]

En fait t'as les termes pairs de ta somme qui sont nuls: Re(i^2n+1)=0.

Donc en fait tu obtiens:

Ta somme= (verifie les indices, je fais de tête j'ai peut être un peu merdé.

Ensuite, tu dis que

Et il faut ensuite que tu justifies que tu peux permuter l'integrale et la somme pour aboutir à
Ta somme=, que tu peux calculer.