Série

[Near]

salut :we:
On pose .
1) Justifier l'existence de u.
2)Y-a-t-il convergence normale sur ?
3)Montrer que u est continue sur .
pour le 1 je pense que je dois montrer que est convergente,est-ce juste ?
merci

[girdav]

C'est juste si on exclut comme dans l'énoncé.

[Near]

C'est juste si on exclut comme dans l'énoncé.

merci,une idée pour montrer qu'elle converge :id:

[girdav]

Voilà donc l'idée que tu attend(ai)s: si on pose pour fixé on obtient une fonction décroissante et continue sur . On peut donc utiliser le critère de comparaison avec une intégrale.

[Joker62]

Haileau

Quand on a de l'expo, on utilise souvent sa convergence rapide face au monôme pour utiliser des théorèmes de comparaisons

Pour x non nul fixé,
n^2f_n(x) tend vers 0 quand n tend vers l';) et on compare avec une série de Riemann

[Near]

Voilà donc l'idée que tu attend(ai)s: si on pose pour fixé on obtient une fonction décroissante et continue sur . On peut donc utiliser le critère de comparaison avec une intégrale.

ok je vais essayer :we: merci beaucoup.
est-ce que tu peux m'aider avec la suite juste avec des pistes :id:
merci.

[Near]

Haileau

Quand on a de l'expo, on utilise souvent sa convergence rapide face au monôme pour utiliser des théorèmes de comparaisons

Pour x non nul fixé,
n^2f_n(x) tend vers 0 quand n tend vers l';) et on compare avec une série de Riemann

désolé j'ai pas compris ce que vous voulez dire ,est-ce que tu peux encore expliquer :we:

[Joker62]

Comme n^2.f_n(x) tend vers 0 quand n tend vers l'infini (x fixé)
Alors à partir d'un certain rang, on aura n^2.f_n(x) <= 1 et donc f_n(x) <= 1/n^2

On conclût par convergence de la série de Riemann :)

[Near]

Comme n^2.f_n(x) tend vers 0 quand n tend vers l'infini (x fixé)
Alors à partir d'un certain rang, on aura n^2.f_n(x) <= 1 et donc f_n(x) <= 1/n^2

On conclût par convergence de la série de Riemann

ok,merci "Joker62" j'ai compris ce que vous voulez faire mais pas le principe :mur: ,est-ce que tu peux expliquer un peu la méthode elle-même.
:we:

[Joker62]

ça s'appelle le critère de Riemann.

Soit u_n une suite à terme positif
S'il existe alpha > 1 tel que n^alpha . u_n tend vers 0 alors la série u_n converge.
(Rmq : On a le même résultat si n^alpha . u_n est majoré)

De même, s'il existe alpha < 1 tel que n^alpha . u_n est minoré alors la série de terme général u_n est divergente.

C'est juste un critère de comparaison et ça se montre comme je l'ai dit plus haut.

[Near]

ça s'appelle le critère de Riemann.

Soit u_n une suite à terme positif
S'il existe alpha > 1 tel que n^alpha . u_n tend vers 0 alors la série u_n converge.
(Rmq : On a le même résultat si n^alpha . u_n est majoré)

De même, s'il existe alpha < 1 tel que n^alpha . u_n est minoré alors la série de terme général u_n est divergente.

C'est juste un critère de comparaison et ça se montre comme je l'ai dit plus haut.

OKAY :id: merci beaucoup "Joker62".

[Near]

désolé si je m'abuse "Joker62" :happy2: mais est-ce que tu peux me montrer comment faire le 2 :zen:
merci.

[Ben314]

Comme Joker a l'air momentanément absent, je répond à sa place, mais là, je trouve que tu pousse un peu...
C'est quoi le signe et les variations de la fonction pour n fixé ? (zéro calculs...)
Donc c'est quoi le sup de lorsque x décrit ? (toujours zéro calculs)
Est ce que la somme des sup est convergente ? (encore zéro calculs...)

[Joker62]

J'faisais mes courses lol

[Near]

merci "Ben314" et "Joker62" :we:

pour fixé est décroissante sur .

est convergente...
est-ce juste jusqu'ici ?

[Joker62]

Donc la série des sup converge. C'est quel type de convergence ça ?

[Near]

Donc la série des sup converge. C'est quel type de convergence ça ?

convergence normale,non ?

[Joker62]

Ui ça tombe bien xD
Bon et bien continues :)

[Near]

merci infiniment "Joker62"
pour la dernière question :zen: la fonction est continue sur
et la série converge uniformément.
donc est continue sur .
est-ce juste ?
merci :we:

[Joker62]

Non c'est pas juste.
La notion de continuïté uniforme ne veut rien dire si on ne l'a fait pas suivre d'un complément circonstanciel de lieu :)
En gros, faut dire où ça converge uniformément.

Et ici, à priori, ça ne converge pas uniformément sur ]0;+;)[
On sait juste que si on se donne un a > 0 (strictement positif) alors ça converge uniformément sur ]a;+;)[

L'outil important à ne pas oublier ici, c'est que la continuïté est un caractère LOCAL
Donc en gros, si ça converge uniformément sur tout intervalle du type ]a;+;)[ alors la fonction f est continue sur tout ]a;+;)[ pour tout a>0 et donc continue sur ]0;+;)[.
Et bien sûr, on a plus forcément convergence uniforme sur ]0;+;)[