Série et permutation
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jonses
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par jonses » 26 Sep 2014, 00:24
Bonjour ou bonsoir,
J'essaye de faire un exercice sur les séries mais je sèche depuis un bon moment,
---
Soit
une permutation de
dans
Je dois étudier la nature des séries suivantes
})
}{n^2})
et
}{n^2ln(n+1)})
---
J'ai essayé de déterminer des inégalités qui pouvaient être intéressantes, mais je n'arrive pas à gérer le problème avec la fonction f ( je ne trouve pas d'inégalité pour f qui pourraient servir)
Si quelqu'un peut me donner quelques indications svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses
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mathelot
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par mathelot » 26 Sep 2014, 07:18
bonjour,
quand on lit l'énoncé, on se dit "f(n) doit se comporter ensemblistement comme n"
avec comme conjectures:
(1) converge
(2) et (3) divergent
pour la (1):
})
On partitionne [|1;n|] en
})
et
 \})
on trouve que la série (en fait on dit "famille sommable",ie,
commutativement convergente) ne dépasse pas
Le raisonnement sous-jacent vient de la notation ensembliste
à la place de
}})
ou encore
} \leq \sum_{k=1}^n \, (\frac{1}{k^2}+ \frac{1}{f(k)^2}) \leq \frac{\pi^2}{3})
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mathelot
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par mathelot » 26 Sep 2014, 09:26
on s'aperçoit que
)
avec égalité ssi
} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{k^2}+\frac{1}{f(k)^2}))
d'où pour toute permutation
non identique
} < \sum \frac{1}{k^2})
(c'est du Cauchy-Schwarz)
L'infimum (le min) de toutes les sommes, sur l'ensemble des permutations
, semble être nul.
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mathelot
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par mathelot » 26 Sep 2014, 09:57
conjecture à démontrer:
}} \qquad \sum_{k \geq 1} \, \frac{1}{kf(k)}=0)
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Ben314
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par Ben314 » 26 Sep 2014, 14:44
mathelot a écrit:conjecture à démontrer:
En prenant
suffisamment grand et
=\left\{\matrix{n+N\text{ si } n\leq N\ \ \ \ \ \ \ \ \ \cr n-N\text{ si } N<n\leq 2N\cr n\ \ \ \ \ \ \ \ \text{ si } 2N<n\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\right.)
on peut rendre la somme aussi petite qu'on veut (mais je ne vois pas bien le rapport avec la question de départ...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Ben314
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par Ben314 » 26 Sep 2014, 15:11
Pour la 2em et la 3em série, le seul truc qui me vient à l'esprit, c'est de commencer par montrer que :
Théorème a écrit:Si
et
alors, pour toute permutation
de
, on a
}\geq\sum_{k=1}^na_kb_{k})
(sauf erreur, c'est façile à prouver par récurrence sur le nombre de couples
\in\{1..n\}^2)
tels que
)
puis en déduire que, si
alors
 a_k\geq \sum_{k=1}^n k a_k)
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mathelot
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par mathelot » 26 Sep 2014, 16:35
la question a été posée car
maximise toutes les séries
)^{-1})
Il était "naturel" de se demander si l'inf était nul ou non
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Mikihisa
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par Mikihisa » 26 Sep 2014, 21:01
Pour la 2ème, instinctivement je dirait que la série est minimale lorsque f=Id, donc minoré par la série des 1/n qui diverge.
Mais je me tromper peut etre
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