Série numérique

[legeniedesalpages]

Bonjour,

on considère une suite réelle telle que converge,
peut-on en déduire que converge?

Merci pour votre aide.


ah non d'accord en fait c'est le contraire. Oubliez ma question.

Merci

[kazeriahm]

Salut,

dans un sens comme dans l'autre c'est faux,

par exemple si r_n=1/n alors somme(r_n^2) converge mais pas somme(r_n)

si r_n=(-1)^n/racine(n) alors somme(r_n) converge mais pas la somme des carrés

parcontre si r_n est supposé positif à partir d'un certain rang et si somme (rn) converge alors somme(rn^2) converge, en effet r_n^2=o(r_n) et on compare deux termes positifs...

[legeniedesalpages]

ah oui bien vu, merci kazeriahm.

[legeniedesalpages]

J'ai encore une question, qu'appelle t'on "convergence normale" dans le cadre des séries?

[Joker62]

Il y a convergence normale quand on peut majorer le terme général par un terme général d'un série convergente.

Mais la définition en elle-même est :
Une suite de fonction f_n(x) converge normalement vers une fonction f si la série de terme général ||f_n||oo converge (qui est une série numérique)

[legeniedesalpages]

salut joker, mais c'est quoi la différence alors avec la convergence uniforme?

[Joker62]

Une petite disgression pour parler de la futilité des mes collègues de promo :D

Un moyen mnémotechnique pour se rapeller :
Cette règle a été baptisée, la règle de l' ANUS :



........A
.....S....N
........U

Implication : de N vers U, de U vers S, de N vers A, de A vers S

[Joker62]

La différence ?
La convergence normale est ENORMEMENT beaucoup plus simple à montrer qu'une convergence uniforme ( Déjà moi voir des sup ça me saoule alors bon... )

En plus, on a que la convergence normale entraîne la convergence uniforme.

[legeniedesalpages]

La différence ?
La convergence normale est ENORMEMENT beaucoup plus simple à montrer qu'une convergence uniforme ( Déjà moi voir des sup ça me saoule alors bon... )

En plus, on a que la convergence normale entraîne la convergence uniforme.

ok mais j'ai pas de cours dessus, je ne connais pas grand chose sur les séries, et on commence à utiliser ces notions en td d'analyse fonctionnelle sans les définir.

Si j'ai bien compris, on a ça

converge, c'est la convergence Simple,

converge, c'est la convergence Absolue,

converge, c'est la convergence Normale,

converge, c'est la convergence Uniforme.

C'est bien ça?

[Joker62]

C'est dommage parce que c'est des notions importantes dans pleins de domaines, intégration, Variable complexe et plein de truc comme ça.

Donc pour prendre un bon début, je te propose : http://rfv.insa-lyon.fr/~duong/Teaching/Maths/Group43Year2002-2003/FunctionSeries.pdf

Y'a un peu de tout pour les bases
Bon courage, faut avouer que c'est pas des notions faciles à mettre en place

[legeniedesalpages]

il m'a l'air parfait ce pdf, merci Joker.

[SimonB]

Bon courage, faut avouer que c'est pas des notions faciles à mettre en place

En tant que notions sur lesquelles Cauchy s'est planté, c'est le moins qu'on puisse dire !

[Joker62]

Oui j'ai lû ça après lol !
Cauchy qui avait du mal avec les convergences :p
Même que c'est à cette période (1872) que Weierstrass nous a pondu une fonction continue nulle part dérivable et qui en a fait retourner plus d'un apparemment

Ce que j'aime bien dans les maths n'empêche, c'est aussi leurs histoires ! :D

[SimonB]

Oui j'ai lû ça après lol !
Cauchy qui avait du mal avec les convergences :p
Même que c'est à cette période (1872) que Weierstrass nous a pondu une fonction continue nulle part dérivable et qui en a fait retourner plus d'un apparemment

Oui. Après, les contre-exemples ont fleuri !
Bon, pour Cauchy, il a dit un résultat faux -puis a construit la notion de convergence uniforme et a corrigé. N'exagérons rien

Ce que j'aime bien dans les maths n'empêche, c'est aussi leurs histoires !

C'est essentiel effectivement.
Déjà, la barre théorique la plus difficile à comprendre, c'était d'appréhender la notion d'infini. Après Cantor, on raisonne plus pareil...
Ensuite, quand j'essaye de lire des textes "historiques", ce qui me fascine le plus, c'est l'imprécision du langage. Je sors tout juste d'un bouquin de lettres de Lebesgue à Borel, et parfois il corrige des résultats donnés précédemment : leurs phrases peuvent être interprétées de façons tellement différentes que c'est parfois vrai, parfois faux !
Ce qui montre qu'à l'époque, il fallait vraiment être génial (=avoir des intuitions folles) pour faire des maths. Et que l'uniformisation bourbakienne des notations nous a fait du bien...

[alavacommejetepousse]

Une petite disgression pour parler de la futilité des mes collègues de promo

Un moyen mnémotechnique pour se rapeller :
Cette règle a été baptisée, la règle de l' ANUS :



........A
.....S....N
........U

Implication : de N vers U, de U vers S, de N vers A, de A vers S

intéressant encore faut il connaitre la position de chaque partenaire.