bonsoir
la première preuve peut se faire en TS
pas la seconde
Série numérique !
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par barbu23 » 04 Sep 2007, 20:54
Bonjour:
Soit $)
.
Soit
.
Alors : .dt = 0 $)
.
je cherche la demonstration de ce Lemme appelé Lemme de Lebesgue !
Merci d'avance !!
P.S : J'ai dejà une demonstration de ce lemme dans un livre, mais j'arrive pas encore à la comprendre !
Soit
Soit
Alors :
je cherche la demonstration de ce Lemme appelé Lemme de Lebesgue !
Merci d'avance !!
P.S : J'ai dejà une demonstration de ce lemme dans un livre, mais j'arrive pas encore à la comprendre !
par barbu23 » 04 Sep 2007, 21:26
Oui, je comprends maintenant, comme dans le livre :
.dt = [\frac{e^{i.\lambda.t}}{i.\lambda}]_{a}^{b} - \displaystyle \int_{a}^{b} \frac{e^{i.\lambda.t}}{i.\lambda}. f'(t).dt = \frac{1}{i.\lambda}.[f(b).e^{i.\lambda.b}-f(a).e^{i.\lambda.a}-\displaystyle \int_{a}^{b} e^{i.\lambda.t} f'(t).dt ]$)
.dt \| \leq \frac{1}{\| \lambda \|}.[\| f(b) \| + \| f(a) \| + \displaystyle \int_{a}^{b} \| f'(t) \| .dt ] $)
.dt \| \leq \frac{1}{\| \lambda \|}.[\| f(b) \| + \| f(a) \| + \displaystyle \int_{a}^{b} \sup_{[a,b]} \| f'(t) \| .dt ] $)
.dt \| \leq \frac{1}{\| \lambda \|}.[\| f(b) \| + \| f(a) \| + \sup_{[a,b]} \| f'(t) \| \displaystyle \int_{a}^{b} dt ] $)
.dt \| \leq \frac{1}{\| \lambda \|}.[\| f(b) \| + \| f(a) \| + \sup_{[a,b]}.(b-a) ] $)
.dt \| \leq \frac{1}{\| \lambda \|}.[\| f(b) \| + \| f(a) \| + M.(b-a) ] \longrightarrow_{\lambda \longrightarrow \infty} 0 $)
avec : $)
.
CQFD.
C'est pas du tout difficile !!
avec :
CQFD.
C'est pas du tout difficile !!
par barbu23 » 05 Sep 2007, 02:08
Bonsoir :
Voiçi une autre serie un peu compliqué :
Question :
Etudier la serie de termes general :}{Arctan(n+1)})^{n^{3}} $)
Voiçi comment je procède :
}{Arctan(n+1)})^{n^{3}} = e^{n^{3}. (\ln(Arctan(n))-\ln(Arctan(n+1))) $)
On a : au voisinage de
à l'ordre de 
:
 = x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-...+(-1)^{n}.\frac{x^{2.n+1}}{2.n+1}+o(x^{2.n+2}) $)
.
Alors, à partir d'ici, je sais plus quoi faire, car
et la formule du D.L. qu'on a ci-dessus est defini au voisinage de et non pas de 
.
Quelqu'un peut m'aider pour la suite ?!
Merci d'avance de votre aide !!
Voiçi une autre serie un peu compliqué :
Question :
Etudier la serie de termes general :
Voiçi comment je procède :
On a : au voisinage de
Alors, à partir d'ici, je sais plus quoi faire, car
Quelqu'un peut m'aider pour la suite ?!
Merci d'avance de votre aide !!
par Sylar » 05 Sep 2007, 02:21
Bonsoir,peut-être on peut essayer de calculer:
lim(n->+inf) [u_(n+1)] / u_n
lim(n->+inf) [u_(n+1)] / u_n
par barbu23 » 05 Sep 2007, 02:33
Est ce que c'est valable avec la formule suivante :  = \frac{\pi}{2} - Arctan(\frac{1}{x}) $)
?
Donc, ça va devenir comme ça :
}{\frac{\pi}{2}-Arctan(\frac{1}{n+1})})} = e^{n^{3}.\ln(\frac{1-\frac{2}{\pi}.Arctan(\frac{1}{n})}{1-\frac{2}{\pi}.Arctan(\frac{1}{n+1})})} = e^{n^{3}.(\ln(1-\frac{2}{\pi}.Arctan(\frac{1}{n}) - \ln(1-\frac{2}{\pi}.Arctan(\frac{1}{n+1}))) $)
Et là : \displaystyle \longrightarrow_{n \longrightarrow +\infty} 0 $)
et  \displaystyle \longrightarrow_{n \longrightarrow +\infty} 0 $)
Alors, ça va comme ça ...?? est ce que je suis sur la bonne voix... ?!
Merci d'avance !!
Donc, ça va devenir comme ça :
Et là :
Alors, ça va comme ça ...?? est ce que je suis sur la bonne voix... ?!
Merci d'avance !!
par barbu23 » 05 Sep 2007, 02:37
oui mais ça donne une formule trop compliquée, je ne crois pas que ça va aboutir à quelque chose d'utile avec ce critère d'Alembert que tu proposes !!
par barbu23 » 05 Sep 2007, 22:57
D'accord, je vais tenter de terminer ça :
 = \frac{2}{\pi.n} -\frac{2}{3.\pi.n^{3}}+o(\frac{1}{n^{4}}) $)
On a :
 = -x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3} -\frac{x^{4}}{4} + o(x^{4}) $)
On a :
) = \ln(1-(\frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{3.\pi.n^{3}}+o(\frac{1}{n^{4}}))) $)
^{2} - \frac{1}{3}.(\frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{3.\pi.n^{3}})^{3} -\frac{1}{4}.(\frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{3.\pi.n^{3}})^{4} + o((\frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{3.\pi.n^{3}})^{4}) $)
^{4}) $)
 $)
On a :
) = \ln(1-(\frac{2}{\pi.(n+1)} - \frac{2}{3.\pi.(n+1)^{3}}+o(\frac{1}{(n+1)^{4}}))) $)
} + \frac{2}{3.\pi.(n+1)^{3}} - \frac{1}{2}.(\frac{2}{\pi.(n+1)} - \frac{2}{3.\pi.(n+1)^{3}})^{2} - \frac{1}{3}.(\frac{2}{\pi.(n+1)} - \frac{2}{3.\pi.(n+1)^{3}})^{3} -\frac{1}{4}.(\frac{2}{\pi.(n+1)} - \frac{2}{3.\pi.(n+1)^{3}})^{4} + o((\frac{2}{\pi.(n+1)} - \frac{2}{3.\pi.(n+1)^{3}})^{4}) $)
} +\frac{2}{3.\pi.(n+1)^{3}} - \frac{2}{\pi^{2}.(n+1)^{2}} + \frac{4}{3.\pi^{2}.(n+1)^{4}} - \frac{8}{3.\pi^{3}.(n+1)^{3}} - \frac{4}{\pi^{4}.(n+1)^{4}} + o((\frac{2}{\pi.(n+1)}-\frac{2}{3.\pi.(n+1)^{3}})^{4}) $)
} - \frac{2}{\pi^{2}.(n+1)^{2}} + \frac{2.\pi^{2}-8}{3.\pi^{3}.(n+1)^{3}}+\frac{4.\pi^{2}-12}{3.\pi^{4}.(n+1)^{4}} + o(\frac{1}{(n+1)^{4}}) $)
} - \frac{2}{\pi^{2}.(n+1)^{2}} + \frac{2.\pi^{2}-8}{3.\pi^{3}.(n+1)^{3}}+\frac{4.\pi^{2}-12}{3.\pi^{4}.(n+1)^{4}} + o(\frac{1}{n^{4}}) $)
) - \ln(1-\frac{2}{\pi}.Artan(\frac{1}{(n+1)})) = - \frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{\pi^{2}.n^{2}} + \frac{2.\pi^{2}-8}{3.\pi^{3}.n^{3}}+\frac{4.\pi^{2}-12}{3.\pi^{4}.n^{4}} + \frac{2}{\pi.(n+1)} + \frac{2}{\pi^{2}.(n+1)^{2}} - \frac{2.\pi^{2}-8}{3.\pi^{3}.(n+1)^{3}}-\frac{4.\pi^{2}-12}{3.\pi^{4}.(n+1)^{4}} + o(\frac{1}{n^{4}}) $)
) - \ln(1-\frac{2}{\pi}.Artan(\frac{1}{(n+1)}))) = - \frac{2.n^{2}}{\pi} - \frac{2.n}{\pi^{2}} + \frac{2.\pi^{2}-8}{3.\pi^{3}}+\frac{4.\pi^{2}-12}{3.\pi^{4}.n} + \frac{2.n^{3}}{\pi.(n+1)} + \frac{2.n^{3}}{\pi^{2}.(n+1)^{2}} - \frac{(2.\pi^{2}-8).n^{3}}{3.\pi^{3}.(n+1)^{3}}-\frac{(4.\pi^{2}-12).n^{3}}{3.\pi^{4}.(n+1)^{4}} + o(\frac{1}{n}) $)
C'est pas moche ça ?! comment je vais mettre toute cette expression dans le DL de l'exponentielle
, on peut pas simplifier cette dernière expression ...?
Merci d'avance !!
On a :
On a :
On a :
C'est pas moche ça ?! comment je vais mettre toute cette expression dans le DL de l'exponentielle
Merci d'avance !!
par fahr451 » 05 Sep 2007, 23:02
bonsoir
ta maladresse vient du fait que tu ne fais pas IMMEDIATEMENT le dv de
1/(n+1) = 1/[n(1+1/n)] = ...
ta maladresse vient du fait que tu ne fais pas IMMEDIATEMENT le dv de
1/(n+1) = 1/[n(1+1/n)] = ...
D
par legeniedesalpages » 06 Sep 2007, 00:40
barbu23 a écrit:D'accord, je vais tenter de terminer ça :
On a :
On a :
On a :
C'est pas moche ça ?! comment je vais mettre toute cette expression dans le DL de l'exponentielle
Merci d'avance !!
Ca c'est vraiment barbu! (désolé je n'ai pas pu m'empêcher :lol2:, veuillez m'excuser pour cette impédance!)
par barbu23 » 07 Sep 2007, 00:14
D'accord fahr451, merci !!
Alors:
} = \frac{1}{n}.(1+\frac{1}{n})^{-1} = \frac{1}{n}.(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}} +o(\frac{1}{n^{3}}) $)
 = Arctan(\frac{1}{n.(1+\frac{1}{n})}) = Arctan(\frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}} +o(\frac{1}{n^{3}})) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}} -\frac{1}{3}.(\frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}})^{3} + o((\frac{1}{n} -\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}})^{3} ) $)
 = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{3.n^{3}} + o(\frac{1}{n^{3}})$)
 = \frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{\pi.n^{2}}+\frac{4}{3.\pi.n^{3}} + o(\frac{1}{n^{3}}) $)
) = \ln(1-(\frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{\pi.n^{2}}+\frac{4}{3.\pi.n^{3}} + o(\frac{1}{n^{3}}))) $)
^{2} - \frac{1}{3}.(\frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{\pi.n^{2}}+\frac{4}{3.\pi.n^{3}})^{3} + o((\frac{2}{\pi.n} - \frac{2}{\pi.n^{2}}+\frac{4}{3.\pi.n^{3}})^{3}) $)
 $)
}{\pi^{2}.n^{2}} - \frac{4.(\pi^{2}-3.\pi+2)}{3.\pi^{3}.n^{3}} + o(\frac{1}{n^{3}}) $)
Maintenant :
) - \ln(1-\frac{2}{\pi}.Arctan(\frac{1}{n+1})) $)
}{3.\pi^{3}.n^{3}} + \frac{2}{\pi.n} - \frac{2(\pi-1)}{\pi^{2}.n^{2}} + \frac{4.(\pi^{2}-3.\pi+2)}{3.\pi^{3}.n^{3}} + o(\frac{1}{n^{3}}) $)
}{\pi^{2}.n^{3}} + o(\frac{1}{n^{3}}) $)
) - \ln(1-\frac{2}{\pi}.Arctan(\frac{1}{n+1}))) = -\frac{2}{\pi} + \frac{2.(\pi-2)}{\pi^{2}.n} + o(\frac{1}{n}) $)
^{\frac{1}{n}} = e^{n^{2}.(\ln(1-\frac{2}{\pi}.Arctan(\frac{1}{n})) - \ln(1-\frac{2}{\pi}.Arctan(\frac{1}{n+1})))} = e^{-\frac{2}{\pi} + \frac{2.(\pi-2)}{\pi^{2}.n} + o(\frac{1}{n})} \displaystyle \longrightarrow_{n \longrightarrow +\infty} e^{-\frac{2}{\pi}} < e^{0} = 1$)
D'après la règle de Cauchy :
converge.
Voilà ..!!
Alors:
Maintenant :
D'après la règle de Cauchy :
Voilà ..!!
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