Série numérique

par **jonses** » 21 Sep 2014, 05:15

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire une exo (assez théorique) sur les séries, mais ça fait un bon moment que je n'avance pas.

---

Soit

une suite de réelles > 0

Pour tout

on note

et on suppose que

tend vers l'infini quand n tend vers l'infini.

Soit

, je dois montrer que :

la série de terme général

converge si et seulement si

---

Si quelqu'un peut me donner une petite indication svp.
Je vous remercie d'avance pour vos messages

par **lapras** » 21 Sep 2014, 11:40

Salut,
je ne suis pas allé jusqu'au bout, mais ce que je ferais c'est une "intégration par partie discrète", c'est à dire une "transformation d'Abel" (intègre u_n et dérive S_N^alpha).
Tu es alors ramené à un problème purement en terme d'une suite croissante positive qui tend vers l'infini.

par **jonses** » 21 Sep 2014, 15:58

Merci !

Bon pour l'instant, j'ai pas encore abouti. Je sais pas si utiliser une transformation d'Abel soit efficace

par **lapras** » 21 Sep 2014, 16:29

Bon j'ai trouvé.
Indice : repose le problème dans le cas continue.
EDIT : aussi, la transformation d'Abel n'est pas utile ici.

par **jonses** » 21 Sep 2014, 20:36

Désolé, mais je comprend pas ce que veut dire "dans le cas continue" : remplacer

par une fonction

par une intégrale ?

Il y a seulement un sens de l'équivalence que j'ai réussi à montrer : si

alors la série de terme général

converge

Sinon pour l'autre implication, je n'y arrive pas du tout. En fait c'est surtout là où je bloque

par **lapras** » 21 Sep 2014, 21:32

Soit

une fonction croissante qui tend vers l'infini en l'infini. Montrer que

converge si et seulement si

.

par **jonses** » 21 Sep 2014, 21:51

Juste pour éviter de perdre du temps précieux (l'exo est captivant, mais disons que prépa=pas le temps) : est-ce que l'exo que tu viens de poser est faisable ou il faut avoir l'astuce sortie du chapeau ? Parce que ça me parait encore plus dur que l'exo de départ.

En fait je pense que c'est bon j'ai réussi pour ton exo avec l'intégrale. Je vais essayer de voir comme tu l'as conseillé, si je peux faire un rapprochement avec les séries

par **jonses** » 21 Sep 2014, 22:13

En fait je pense que c'est bon j'ai réussi pour ton exo avec l'intégrale. Je vais essayer de voir comme tu l'as conseillé, si je peux faire un rapprochement avec les séries.

Bon, là vraiment, à part la transformation d'Abel, je vois pas du tout le lien entre intégrale et série pour cet exo, surtout que pour faire l'exo que tu as proposé, j'ai fait une IPP.
Est-ce que la transformation d'Abel est vraiment inutile ici ?

par **lapras** » 21 Sep 2014, 22:37

En fait, pour calculer cette intégrale, il suffit de trouver une primitive évidente :

. Du coup l'analogue discret est de poser

. Calcule alors

.
L'exo en continue en lui même ne résout pas l'exercice, mais donne la bonne idée.

par **lapras** » 22 Sep 2014, 11:15

Il y a une autre méthode, plus rapide.
On écrit

. Maintenant compare ça avec

.

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